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统计代写|线性回归代写linear regression代考|Elliptically Contoured Distributions
Definition 10.4: Johnson (1987, pp. 107-108). A $p \times 1$ random vector $\boldsymbol{X}$ has an elliptically contoured distribution, also called an elliptically symmetric distribution, if $\boldsymbol{X}$ has joint pdf
$$
f(z)=k_p|\boldsymbol{\Sigma}|^{-1 / 2} g\left[(z-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(z-\boldsymbol{\mu})\right]
$$
and we say $\boldsymbol{X}$ has an elliptically contoured $E C_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}, g)$ distribution.
If $\boldsymbol{X}$ has an elliptically contoured (EC) distribution, then the characteristic function of $\boldsymbol{X}$ is
$$
\phi_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})=\exp \left(i \boldsymbol{t}^T \boldsymbol{\mu}\right) \psi\left(\boldsymbol{t}^T \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{t}\right)
$$
for some function $\psi$. If the second moments exist, then
$$
E(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{\mu}
$$
and
$$
\operatorname{Cov}(\boldsymbol{X})=c_X \boldsymbol{\Sigma}
$$
where
$$
c_X–2 \psi^{\prime}(0)
$$
Definition 10.5. The population squared Mahalanobis distance
$$
U \equiv D^2=D^2(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})=(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})
$$
For elliptically contoured distributions, $U$ has pdf
$$
h(u)=\frac{\pi^{p / 2}}{\Gamma(p / 2)} k_p u^{p / 2-1} g(u) .
$$
For $c>0$, an $E C_p(\boldsymbol{\mu}, c \boldsymbol{I}, g)$ distribution is spherical about $\boldsymbol{\mu}$ where $\boldsymbol{I}$ is the $p \times p$ identity matrix. The multivariate normal distribution $N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ has $k_p=(2 \pi)^{-p / 2}, \psi(u)=g(u)=\exp (-u / 2)$, and $h(u)$ is the $\chi_p^2$ density.
The following lemma is useful for proving properties of EC distributions withónt using thė charáctêristic function (10.6). Sẻé Eáton (1986) and Cook $(1998$, pp. 57,130$)$
统计代写|线性回归代写linear regression代考|Sample Mahalanobis Distances
In the multivariate location and dispersion model, sample Mahalanobis distances play a role similar to that of residuals in multiple linear regression. The observed data $\boldsymbol{X}i=\boldsymbol{x}_i$ for $i=1, \ldots, n$ is collected in an $n \times p$ matrix $\boldsymbol{W}$ with $n$ rows $\boldsymbol{x}_1^T, \ldots, \boldsymbol{x}_n^T$. Let the $p \times 1$ column vector $T(\boldsymbol{W})$ be a multivariate location estimator, and let the $p \times p$ symmetric positive definite matrix $\boldsymbol{C}(\boldsymbol{W})$ be a dispersion estimator such as the sample covariance matrix. Definition 10.6. The $i$ th squared Mahalanobis distance is $$ D_i^2=D_i^2(T(\boldsymbol{W}), \boldsymbol{C}(\boldsymbol{W}))=\left(\boldsymbol{X}_i-T(\boldsymbol{W})\right)^T \boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{W})\left(\boldsymbol{X}_i-T(\boldsymbol{W})\right)(10.12) $$ for each point $\boldsymbol{X}_i$. Notice that $D_i^2$ is a random variable (scalar valued). Notice that the population squared Mahalanobis distance is $$ D{\boldsymbol{X}}^2(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})=(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})
$$
and that the term $\boldsymbol{\Sigma}^{-1 / 2}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})$ is the $p$-dimensional analog to the $Z$-score used to transform a univariate $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ random variable into an $N(0,1)$ random variable. Hence the sample Mahalanobis distance $D_i=\sqrt{D_i^2}$ is an analog of the absolute value $\left|Z_i\right|$ of the sample $Z$-score $Z_i=\left(X_i-\bar{X}\right) / \hat{\sigma}$. Also notice that the Euclidean distance of $\boldsymbol{x}_i$ from the estimate of center $T(\boldsymbol{W})$ is $D_i\left(T(\boldsymbol{W}), \boldsymbol{I}_p\right)$ where $\boldsymbol{I}_p$ is the $p \times p$ identity matrix.
Example 10.3. The contours of constant density for the $N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ distribution are hyperellipsoid boundaries of the form $(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})=a^2$. An $\alpha$-density region $K_\alpha$ is a set such that $P\left(\boldsymbol{X} \in K_\alpha\right)=\alpha$, and for the $N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ distribution, the regions of highest density are sets of the form
$$
\left{\boldsymbol{x}:(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \leq \chi_p^2(\alpha)\right}=\left{\boldsymbol{x}: D_{\boldsymbol{r}}^2(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) \leq \chi_p^2(\alpha)\right}
$$
where $P\left(W \leqq \chi_p^2(\alpha)\right)-\alpha$ if $W \sim \chi_p^2$. If the $\boldsymbol{X}i$ are $n$ iid random vectors each with an $N_p(\mu, \Sigma)$ pdf, then a scatterplot of $X{i, k}$ versus $X_{i, j}$ should be ellipsoidal for $k \neq j$. Similar statements hold if $\boldsymbol{X}$ is $E C_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}, g)$ with continuous nondecreasing $g$, but the $\alpha$-density region will use a constant $U_\alpha$ obtained from Equation (10.10).
统计代写|线性回归代写线性回归代考|椭圆轮廓分布
定义10.4:Johnson(1987，第107-108页)。一个$p \times 1$随机向量$\boldsymbol{X}$具有椭圆轮廓分布，也称为椭圆对称分布，如果$\boldsymbol{X}$具有联合pdf
$$
f(z)=k_p|\boldsymbol{\Sigma}|^{-1 / 2} g\left[(z-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(z-\boldsymbol{\mu})\right]
$$
，我们说$\boldsymbol{X}$具有椭圆轮廓$E C_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}, g)$分布
If $\boldsymbol{X}$ 具有椭圆轮廓(EC)分布，则特征函数 $\boldsymbol{X}$
$$
\phi_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})=\exp \left(i \boldsymbol{t}^T \boldsymbol{\mu}\right) \psi\left(\boldsymbol{t}^T \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{t}\right)
$$
用于某些函数 $\psi$。如果第二个矩存在，则
$$
E(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{\mu}
$$
和
$$
\operatorname{Cov}(\boldsymbol{X})=c_X \boldsymbol{\Sigma}
$$
where
$$
c_X–2 \psi^{\prime}(0)
$$10.5.
定义总体马氏距离的平方
$$
U \equiv D^2=D^2(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})=(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})
$$对于椭圆轮廓分布， $U$ pdf是否
$$
h(u)=\frac{\pi^{p / 2}}{\Gamma(p / 2)} k_p u^{p / 2-1} g(u) .
$$
用于 $c>0$，一个 $E C_p(\boldsymbol{\mu}, c \boldsymbol{I}, g)$ 分布是球形的 $\boldsymbol{\mu}$ 哪里 $\boldsymbol{I}$ 是 $p \times p$ 单位矩阵。多元正态分布 $N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 有 $k_p=(2 \pi)^{-p / 2}, \psi(u)=g(u)=\exp (-u / 2)$，以及 $h(u)$ 是 $\chi_p^2$
以下引理对于使用thcharáctêristic函数(10.6)证明EC分布的性质withónt是有用的。Sẻé Eáton(1986)和库克$(1998$, pp. 57130 $)$
统计代写|线性回归代写线性回归代考|样本Mahalanobis距离
在多元位置和色散模型中，样本Mahalanobis距离的作用类似于多元线性回归中的残差。观测数据 $\boldsymbol{X}i=\boldsymbol{x}_i$ 为 $i=1, \ldots, n$ 收集在 $n \times p$ 矩阵 $\boldsymbol{W}$ 用 $n$ 行 $\boldsymbol{x}_1^T, \ldots, \boldsymbol{x}_n^T$。让 $p \times 1$ 列向量 $T(\boldsymbol{W})$ 是一个多元位置估计器，让 $p \times p$ 对称正定矩阵 $\boldsymbol{C}(\boldsymbol{W})$ 是一个色散估计量，如样本协方差矩阵。定义10.6。。 $i$ 马氏距离的平方是 $$ D_i^2=D_i^2(T(\boldsymbol{W}), \boldsymbol{C}(\boldsymbol{W}))=\left(\boldsymbol{X}_i-T(\boldsymbol{W})\right)^T \boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{W})\left(\boldsymbol{X}_i-T(\boldsymbol{W})\right)(10.12) $$ 对于每个点 $\boldsymbol{X}_i$。注意到 $D_i^2$ 随机变量(标量值)。注意到总体的平方马氏距离是 $$ D{\boldsymbol{X}}^2(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})=(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})
$$
，那是术语 $\boldsymbol{\Sigma}^{-1 / 2}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})$ 是 $p$的-维模拟 $Z$用于转换单变量的score $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 随机变量变为 $N(0,1)$ 随机变量。因此样本马氏距离 $D_i=\sqrt{D_i^2}$ 是绝对值的类比吗 $\left|Z_i\right|$ 样本的 $Z$-分数 $Z_i=\left(X_i-\bar{X}\right) / \hat{\sigma}$。还要注意欧几里得距离 $\boldsymbol{x}_i$ 从中心的估计 $T(\boldsymbol{W})$ 是 $D_i\left(T(\boldsymbol{W}), \boldsymbol{I}_p\right)$ 哪里 $\boldsymbol{I}_p$ 是 $p \times p$ 单位矩阵。
示例10.3。$N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$分布的等密度等值线是$(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})=a^2$形式的超椭球边界。$\alpha$ -密度区域$K_\alpha$是这样一个集合:$P\left(\boldsymbol{X} \in K_\alpha\right)=\alpha$，对于$N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$分布，密度最高的区域是形式为
$$
\left{\boldsymbol{x}:(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \leq \chi_p^2(\alpha)\right}=\left{\boldsymbol{x}: D_{\boldsymbol{r}}^2(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) \leq \chi_p^2(\alpha)\right}
$$
的集合，其中$P\left(W \leqq \chi_p^2(\alpha)\right)-\alpha$如果$W \sim \chi_p^2$。如果$\boldsymbol{X}i$是$n$ iid随机向量，每个都带有$N_p(\mu, \Sigma)$ pdf，那么对于$k \neq j$, $X{i, k}$与$X_{i, j}$的散点图应该是椭球形的。如果$\boldsymbol{X}$是$E C_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}, g)$，且$g$是连续不变的，则同样成立，但$\alpha$ -密度区域将使用从式(10.10)中得到的常数$U_\alpha$
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