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统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|The Fundamentals of Hypothesis Testing
Hypothesis testing is the process of establishing which out of a number of competing hypotheses is most plausible (i.e., has the greatest probability of being true) given the data or judgments available. Examples of the kind of hypotheses we might be interested in when assessing risk include
- Is a soccer team coach competent or merely lucky?
Is drug “Precision” better than drug “Oomph” in causing weight loss? - Is investment in U.S. government bonds riskier than investment in gold?
- Is one scientific weather model better able to predict floods than another?
- Are calorific intake and lack of exercise a joint cause of obesity or is it calorific intake alone?
In this section we introduce many of the key principles and issues about hypothesis testing using the following very simple example:
It is suspected that a coin being used in a gambling game is “biased towards Heads’. You have the opportunity to test the hypothesis by observing the coin being tossed 100 times and counting the number of heads you observe. Suppose you observe, say, 61 Heads. What do you conclude?
The main objective of this section is to compare and contrast the classical and Bayesian approaches.
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Using $p$-Values and the Classical Approach
As wc discussed in Chapter 6 , in classical hypothcsis tcsting, wc havc to determine whether the observed data (the 61 heads out of 100 in this case) provides us with sufficient evidence to reject the so-called “null hypothesis” $H_0$ that the coin is unbiased.
Being a good experimenter you will have set a threshold-called a $p$-value-in advance. A typical $p$-value is $0.05$, or $5 \%$ when written as a percentage. The $p$-value is the probability of obtaining a result at least as extreme as the one that was actually observed (in this case 61 heads out of 100 ), assuming that the null hypothesis is true.
There is a simple “correct” way to calculate the $p$-value but, for reasons we will explain later, the $p$-value is often calculated differently in the “classical statistical method” (and that way of calculating it is often wrongly referred to as the definition of $p$-values). The correct way to calculate the probability of obtaining a given number of heads on 100 tosses assuming the null hypothesis is true is as follows:
First note that the null hypothesis (the coin is fair) is simply the assumption that the probability of tossing a head is equal to $0.5$. The probability of tossing any given number of heads in 100 tosses-assuming the probability of tossing a head is $0.5$-is simply computed from the binomial distribution. For example, the probability of tossing exactly 61 heads is (to 3 decimal places):
$$
\left(\begin{array}{c}
100 \
61
\end{array}\right) 0.5^{61} \times 0.5^{39}=0.007
$$
But what we really want to know is the probability of tossing at least 61 heads and for this we need the full binomial distribution shown in Figure 12.1. The probability of observing at least 61 heads is the sum of the probability values $61,62,63$, etc. This is actually $1.8 \%$.
It turns out that 59 heads is the necessary “tipping point” for the $p$-value of $5 \%$. That is because the probability of observing at least 58 heads is just over $5 \%$ while the probability of observing at least 59 heads is $4.5 \%$. Since 61 heads is more than 58 we can reject the null hypothesis at the $5 \%$ level. We cannot reject the null hypothesis at the $1 \%$ level (because, as stated above, the probability of observing at least 61 heads is actually $1.8 \%$ ). The tipping point needed for the $1 \%$-value is 62 heads.
统计代写|贝叶斯分析代写贝叶斯分析代考|假设检验的基础
假设检验是在现有数据或判断的前提下，从许多相互竞争的假设中确定哪一个最合理(即，有最大的可能性是正确的)的过程。在评估风险时，我们可能感兴趣的假设类型的例子包括
一个足球队教练是有能力还是只是运气好?
在减肥方面，药物“Precision”比药物“Oomph”更好吗?投资美国政府债券比投资黄金风险大吗?一种科学天气模型比另一种更能预测洪水吗?热量的摄入和缺乏运动是肥胖的共同原因还是仅仅是热量的摄入?在这一节中，我们使用以下非常简单的例子来介绍假说检验的许多关键原则和问题:有人怀疑在赌博游戏中使用的硬币是“偏向正面的”。你有机会通过观察投掷100次硬币并计算你观察到的正面的数量来检验这个假设。假设你观察到，比如说，61个正面。你的结论是什么?
本节的主要目的是比较和对比经典和贝叶斯方法
统计代写|贝叶斯分析代写贝叶斯分析代考|使用$p$ -值和经典方法
正如我们在第6章中讨论的，在经典假设测试中，我们必须确定观察到的数据(在这个例子中是100个正面中的61个)是否为我们提供了足够的证据来拒绝所谓的“零假设”$H_0$，即硬币是无偏的
作为一个好的试验者，你将预先设置一个阈值—称为$p$—值。典型的$p$ -value是$0.05$，或者用百分比表示的$5 \%$。$p$ -value是得到至少与实际观察到的结果一样极端的结果的概率(在这种情况下，100个正面中有61个正面)，假设零假设为真
有一种简单的“正确”的方法来计算$p$ -value，但是，由于我们将在后面解释的原因，$p$ -value在“经典统计方法”中经常以不同的方式计算(这种计算方法经常被错误地称为$p$ -values的定义)。假设零假设成立，计算100次抛掷得到给定次数正面的概率的正确方法如下:
首先请注意，零假设(硬币是均匀的)是简单的假设，即抛出一个正面的概率等于$0.5$。100次抛掷中抛掷任意数量的正面的概率——假设抛掷一个正面的概率是$0.5$——可以简单地从二项分布中计算出来。例如，恰好抛出61个正面的概率是(到小数点后3位):
$$
\left(\begin{array}{c}
100 \
61
\end{array}\right) 0.5^{61} \times 0.5^{39}=0.007
$$
但我们真正想知道的是抛出至少61个正面的概率，为此我们需要完整的二项分布，如图12.1所示。观察到至少61个正面的概率是概率值$61,62,63$的和，等等。这实际上是$1.8 \%$。
结果表明，对于$5 \%$的$p$ -value来说，59个正面是必要的“临界点”。这是因为观察到至少58个正面的概率刚好超过$5 \%$，而观察到至少59个正面的概率是$4.5 \%$。因为61个正面大于58，我们可以在$5 \%$级别拒绝零假设。我们不能在$1 \%$级别拒绝零假设(因为，如上所述，观察到至少61个正面的概率实际上是$1.8 \%$)。$1 \%$ -value的临界点是62个人头
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