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物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|Spin and Parity of Nuclear Ground States

Nuclear states have an intrinsic spin and a well-defined parity, $\eta=\pm 1$, determined by the behaviour of the wavefunction of all the nucleons under mirror reversal $(r \rightarrow-r)$, with the centre of the nucleus at the origin.
$$
\Psi\left(-r_1,-r_2 \cdots-r_A\right)=\eta \Psi\left(r_1, r_2 \cdots r_A\right)
$$
The spin and parity of nuclear ground states can usually be determined from the Shell Model. Protons and neutrons tend to pair up so that the total angular momentum of each pair is zero and each pair has even parity $(\eta=1)$. Therefore, the unpaired neutron and/or proton define nuclear spin and parity. Thus, we have the following:

  • Even-even nuclides (both $Z$ and $A$ even) have zero intrinsic spin and even parity.
  • Odd-A nuclei have one unpaired nucleon. The spin of the nucleus is equal to the $j$-value of that unpaired nucleon and the parity is $(-1)^{\ell}$, where $\ell$ is the orbital angular momentum of the unpaired nucleon. For example, ${ }{22}^{47}$ Ti has an even number of protons and 25 neutrons. Twenty of the neutrons fill the shells up to magic number 20 and there are 5 in the $1 f{\frac{7}{2}}$ state $\left(\ell=3, j=\frac{7}{2}\right)$. Four of these form pairs, and the remaining one leads to a nuclear spin of $\frac{7}{2}$ and parity $(-1)^3=-1$
  • Odd-odd nuclei: In this case, there is an unpaired proton whose total angular momentum is $j_1$ and an unpaired neutron whose total angular momentum is $j_2$. The total spin of the nucleus is the (vector) sum of these angular momenta and can take values between $\left|j_1-j_2\right|$ and $\left|j_1+j_2\right|$ (in unit steps). The parity is given by $(-1)^{\left(\ell_1+\ell_2\right)}$, where $\ell_1$ and $\ell_2$ are the orbital angular momenta of the unpaired proton and neutron, respectively.

For example, ${ }3^6 \mathrm{Li}$ (lithium) has 3 neutrons and 3 protons. The first two of each fill the $1 s$ level and the third is in the $1 p{\frac{3}{2}}$ level. The orbital angular momentum of each is $\ell=1$, so the parity is $(-1) \times(-1)=+1$ (even), but the spin can take any value between 0 and 3 .

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|Magnetic Dipole Moments

Since nuclei with an odd number of protons and/or neutrons have intrinsic spin, they also generally possess a magnetic dipole moment.

The unit of the magnetic dipole moment for a nucleus, the “nuclear magneton”, is defined as
$$
\mu_N=\frac{e \hbar}{2 m_p},
$$
which is analogous to the Bohr magneton but with the electron mass replaced by the proton mass. It is defined such that the magnetic moment of a proton due to its orbital angular momentum $\ell$ is $\mu_N \ell$. Experimentally it is found that the magnetic moment of the proton due to its spin is
$$
\mu_p=2.79 \mu_N=5.58 \mu_N s, \quad\left(s=\frac{1}{2}\right)
$$
and that of the neutron is
$$
\mu_n=-1.91 \mu_N=-3.82 \mu_N s, \quad\left(s=\frac{1}{2}\right) .
$$
If we apply a magnetic field in the $z$-direction to a nucleus, then the unpaired proton with orbital angular momentum $\boldsymbol{\ell}, \operatorname{spin} s$ and total angular momentum $j$ will give a contribution to the $z$-component of the nuclear magnetic moment
$$
\mu_z=\left(5.58 s_z+\ell_z\right) \mu_N .
$$

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|PHYS575

物理代写|粒子物理代写粒子物理代考|核基态的自旋和宇称性


核态具有固有的自旋和定义良好的宇称, $\eta=\pm 1$,由镜像反转下所有核子的波函数的行为决定 $(r \rightarrow-r)$,原子核的中心在原点。
$$
\Psi\left(-r_1,-r_2 \cdots-r_A\right)=\eta \Psi\left(r_1, r_2 \cdots r_A\right)
$$核基态的自旋和宇称态通常可以由壳层模型确定。质子和中子倾向于成对,所以每对的总角动量为零,而且每对都有相等的宇称 $(\eta=1)$。因此,未配对的中子和/或质子定义了核自旋和宇称。因此,我们有以下内容:


偶偶核素($Z$和$A$ even)具有零自旋和偶宇称。Odd-A核有一个未配对的核子。原子核的自旋等于未配对核子的$j$,宇称是$(-1)^{\ell}$,其中$\ell$是未配对核子的轨道角动量。例如,${ }{22}^{47}$ Ti有偶数个质子和25个中子。20个中子填满了壳层,直到神奇的数字20,其中有5个处于$1 f{\frac{7}{2}}$状态$\left(\ell=3, j=\frac{7}{2}\right)$。其中的四个形成对,剩下的一个导致了$\frac{7}{2}$的核自旋和$(-1)^3=-1$ 的宇称

  • 奇奇核:在这种情况下,存在一个总角动量为$j_1$的未配对质子和一个总角动量为$j_2$的未配对中子。原子核的总自旋是这些角动量的(矢量)和,可以取$\left|j_1-j_2\right|$和$\left|j_1+j_2\right|$之间的值(单位阶跃)。宇称由$(-1)^{\left(\ell_1+\ell_2\right)}$给出,其中$\ell_1$和$\ell_2$分别为未配对质子和中子的轨道角动量


例如,${ }3^6 \mathrm{Li}$(锂)有3个中子和3个质子。它们的前两个填充$1 s$级别,第三个填充$1 p{\frac{3}{2}}$级别。它们的轨道角动量都是$\ell=1$,所以奇偶校验是$(-1) \times(-1)=+1$(偶数),但自旋可以取0到3之间的任何值

物理代写|粒子物理代写粒子物理学代考|磁偶极矩


由于含有奇数个质子和/或中子的原子核具有固有的自旋,它们通常也具有磁偶极矩


原子核的磁偶极矩单位,即“核磁子”,定义为
$$
\mu_N=\frac{e \hbar}{2 m_p},
$$
,它类似于玻尔磁子,但用质子质量取代了电子质量。它的定义是这样的,质子的磁矩由于其轨道角动量$\ell$是$\mu_N \ell$。实验发现,质子的自旋磁矩为
$$
\mu_p=2.79 \mu_N=5.58 \mu_N s, \quad\left(s=\frac{1}{2}\right)
$$
,中子的磁矩为
$$
\mu_n=-1.91 \mu_N=-3.82 \mu_N s, \quad\left(s=\frac{1}{2}\right) .
$$
如果我们对原子核施加一个$z$方向的磁场,那么具有轨道角动量$\boldsymbol{\ell}, \operatorname{spin} s$和总角动量$j$的未配对质子将对核磁矩的$z$分量
$$
\mu_z=\left(5.58 s_z+\ell_z\right) \mu_N .
$$ 作出贡献

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考

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