物理代写|宇宙学代写cosmology代考|PHYS3080

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物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Boltzmann equation

After having treated gravity in the homogeneous universe, let us now turn to the equations governing matter and radiation. In cosmology, we are not interested in the fate of individual particles, but in their behavior in a statistical sense. Hence let us consider a collection of particles occupying some region of space, as we did in Sect. 2.3. In classical physics, these particles are completely described by the set $\left{\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{p}_i\right}$ of their positions $\boldsymbol{x}_i$ and momenta $\boldsymbol{p}_i$. We can then define the distribution function, as in Sect. 2.3, by relating it to the number of particles in a small phase-space element around $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p})$ :
$$
N(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)=f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)(\Delta x)^3 \frac{(\Delta p)^3}{(2 \pi)^3} .
$$
In the limit of a large number of particles within the volume element considered, $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)$ approaches a continuous function describing the state of the collection of particles, and we no longer need to keep track of individual particles. We already saw that the appropriate integration measure (in natural units) is given by $d^3 x d^3 p /(2 \pi)^3$. Note that we do not need to include the energy as a separate variable, since, at any point in phase space, $E$ is completely determined by $(x, p)$.

Now we would like to derive an equation governing this distribution function. This equation should uniquely follow from the equations of motion obeyed by the individual particles. Let us begin by neglecting any particle-particle interactions. Then, the only forces acting on the particles are long-range forces, which we can describe through a force field (more precisely, acceleration field) $a(x, p, t)$. This could for example be gravity, in which case $a=-\nabla \Psi(x, t)$, where the gravitational potential $\Psi$ (defined in Eq. (3.49) below) is independent of the particle momenta, or it could be the Lorentz force due to electromagnetic fields. Then, using the definition of the momentum $p$, the equations of motion for nonrelativistic particles are
$$
\dot{x}=\frac{p}{m} ; \quad \dot{p}=m a(x, p, t) .
$$
The number of particles is conserved, which we can formalize by stating that the total time derivative of $f$ vanishes,
$$
\frac{d f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)}{d t}=0 \quad \text { where } \quad \frac{d}{d t}=\frac{\partial}{\partial t}+\dot{\boldsymbol{x}} \cdot \nabla_x+\dot{\boldsymbol{p}} \cdot \nabla_p
$$
is the total (rather than partial) time derivative, and $\nabla_x, \nabla_p$ denote the gradient with respect to the arguments $x$ and $p$, respectively.

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Boltzmann equation for particles in a harmonic potential

Let us begin our journey with the Boltzmann equation with the case of nonrelativistic particles governed by a simple $x^2$ potential in one dimension. This Boltzmann equation exhibits all essential features of the full general-relativistic versions of the Boltzmann equation we will encounter in the next section, but the algebra is much less cumbersome. So here the physics will be quite transparent. It will be useful to keep this example in mind when the algebra threatens to obscure the physics in the following chapters.

Consider free particles living in a one-dimensional harmonic potential well. Their energy then is simply
$$
E=\frac{p^2}{2 m}+\frac{1}{2} k x^2,
$$
where $k$ is the spring constant. The distribution function is now a function of three scalar arguments $f=f(x, \beta ; t)$ : Fig: 3 : $^2$ illustrates the movement though phase space of a distribution of such particles (throughout, we consider the collisionless case $C[f]=0$ ). The full time derivative $d f / d t$ vanishes since the number of particles in the bunch at $t_1$ equals that at $t_2$. What changes over time is the location of the particles in phase space themselves. Alternatively, we can think of $x$ and $p$ as independent variables (not dependent on $t$ ) and take partial derivatives of $f$ with respect to $t, x$, and $p$. All of these partial derivatives are nonzero, but the appropriate weighted sum of the three vanishes [Eq. (3.17)].

To determine the coefficients $\dot{x}$ and $\dot{p}$ in Eq. (3.17), we must use the equations of motion, i.e. the one-dimensional version of Eq. (3.16). Via Newton’s force law, we have
$$
\dot{x}=\frac{p}{m} \quad \text { and } \quad \dot{p}=-k x .
$$
When generalizing to the relativistic case, these familiar equations will be replaced by the geodesic equation we have derived in Sect. 2.1.2. The collisionless Boltzmann equation for the present case is then
$$
\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{p}{m} \frac{\partial f}{\partial x}-k x \frac{\partial f}{\partial p}=0 .
$$

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|PHYS3080

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|玻尔兹曼方程


在讨论了齐次宇宙中的引力之后,现在让我们转向控制物质和辐射的方程。在宇宙学中,我们感兴趣的不是单个粒子的命运,而是它们在统计意义上的行为。因此,让我们考虑一个粒子的集合,占据空间的某个区域,就像我们在第2.3节所做的那样。在经典物理学中,这些粒子完全由它们的位置$\boldsymbol{x}_i$和动量$\boldsymbol{p}_i$的集合$\left{\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{p}_i\right}$来描述。然后,我们可以定义分布函数,如第2.3节所述,通过将其与$(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p})$附近的一个小相空间元中的粒子数联系起来:
$$
N(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)=f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)(\Delta x)^3 \frac{(\Delta p)^3}{(2 \pi)^3} .
$$
在考虑的体积元中有大量粒子的极限时,$f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)$接近一个描述粒子集合状态的连续函数,我们不再需要跟踪单个粒子。我们已经看到适当的积分度量(以自然单位)由$d^3 x d^3 p /(2 \pi)^3$给出。请注意,我们不需要将能量作为一个单独的变量,因为在相空间的任何一点上,$E$完全由$(x, p)$决定


现在我们要推导一个控制这个分布函数的方程。这个方程应该与单个粒子所服从的运动方程一致。让我们先忽略粒子与粒子之间的相互作用。然后,作用在粒子上的唯一的力是远程力,我们可以通过力场(更准确地说,加速度场)$a(x, p, t)$来描述它。例如,这可以是重力,在这种情况下$a=-\nabla \Psi(x, t)$,其中引力势$\Psi$(定义在Eq.(3.49)下面)是独立于粒子动量,或者它可以是由电磁场引起的洛伦兹力。然后,使用动量的定义$p$,非相对论性粒子的运动方程是
$$
\dot{x}=\frac{p}{m} ; \quad \dot{p}=m a(x, p, t) .
$$
粒子的数量是守恒的,我们可以通过声明$f$的总时间导数消失,
$$
\frac{d f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)}{d t}=0 \quad \text { where } \quad \frac{d}{d t}=\frac{\partial}{\partial t}+\dot{\boldsymbol{x}} \cdot \nabla_x+\dot{\boldsymbol{p}} \cdot \nabla_p
$$
是总(而不是部分)时间导数,$\nabla_x, \nabla_p$分别表示关于参数$x$和$p$的梯度来形式化。

物理代写|宇宙学代写宇宙学代考|谐势中粒子的玻尔兹曼方程


让我们从玻尔兹曼方程开始我们的旅程,在一维中由简单的$x^2$势支配的非相对论性粒子的情况下。这个玻尔兹曼方程展示了我们将在下一节中遇到的广义相对论版本的玻尔兹曼方程的所有基本特征,但是代数要简单得多。所以这里的物理是非常透明的。在接下来的章节中,当代数有可能掩盖物理知识时,记住这个例子是很有用的


考虑生活在一维谐波势阱中的自由粒子。它们的能量就是
$$
E=\frac{p^2}{2 m}+\frac{1}{2} k x^2,
$$
其中$k$是弹簧常数。分布函数现在是三个标量参数$f=f(x, \beta ; t)$的函数:图3:$^2$说明了这种粒子分布在相空间中的运动(在整个过程中,我们考虑无碰撞情况$C[f]=0$)。全时导数$d f / d t$消失了,因为$t_1$处粒子群的数量等于$t_2$处粒子群的数量。随时间变化的是粒子在相空间中的位置。或者,我们可以把$x$和$p$看作自变量(不依赖于$t$),并对$f$对$t, x$和$p$求偏导。所有这些偏导数都是非零的,但是三个偏导数的适当加权和消失了[Eq. (3.17)]

确定系数 $\dot{x}$ 和 $\dot{p}$ 在式(3.17)中,我们必须使用运动方程,即式(3.16)的一维版本。根据牛顿的作用力,我们得到
$$
\dot{x}=\frac{p}{m} \quad \text { and } \quad \dot{p}=-k x .
$$当推广到相对论情况时,这些熟悉的方程将被我们在2.1.2节中推导出的测地线方程所取代。此时,无碰撞玻尔兹曼方程为
$$
\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{p}{m} \frac{\partial f}{\partial x}-k x \frac{\partial f}{\partial p}=0 .
$$

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