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物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Neutrinos
The next constituent we need to consider are neutrinos. Unlike photons and baryons, cosmic neutrinos have not been observed directly, so arguments about their contribution to the energy density are necessarily theoretical. However, these theoretical arguments are quite strong, based on very well-understood physics. Moreover, the CMB anisotropies constrain the total density in relativistic particles $\Omega_{\mathrm{r}} h^2$ in the early universe. Experiments such as the Planck satellite have found clear evidence for an amount of relativistic particles (in addition to the known photons) that is consistent with the expected neutrino contribution.
Let us sum up what we know about these particles:
- There are three generations of neutrinos ${ }^7$.
- There is one spin degree of freedom each for the neutrino and antineutrino of each generation.
- Neutrinos are fermions and follow the Fermi-Dirac distribution function when in equilibrium.
We can use this information to evaluate the energy density of neutrinos in the universe, relating it to the photon energy density $\rho_\gamma$ for convenience. The first two items on the list imply that the degeneracy factor of neutrinos is equal to 6 . The third means we need to change the denominator in the integrand in Eq. (2.73) to $e^{p / T}+1$. The resulting FermiDirac energy integral is smaller by a factor of $7 / 8$ compared to the corresponding BoseEinstein integral. Finally, since the energy density of a massless particle scales as $T^4$, we can write
$$
\rho_v=3 \times \frac{7}{8} \times\left(\frac{T_v}{T}\right)^4 \rho_\gamma .
$$
We then only need to determine $T_v$, which, as you might have guessed from how we wrote this equation, is different from the photon temperature $T$.
For this, let us first consider the production of neutrinos in the early universe. A basic understanding of the interaction rates of neutrinos (Fig. 1.4) enables us to argue that neutrinos were once kept in equilibrium with the rest of the cosmic plasma. At later times, they lost contact with the plasma because their interactions are weak. The tricky part in determining the neutrino temperature is the annihilation of electrons and positrons when the cosmic temperature was of order the electron mass. Neutrinos lost contact with the cosmic plasma slightly before this annihilation, so they inherited almost none of the associated energy. The photons, which acquired the vast majority of it, are therefore hotter than the neutrinos.
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Epoch of matter–radiation equality
The epoch at which the energy density in matter equals that in radiation is called matterradiation equality. It has a special significance for the generation of large-scale structure and for the development of CMB anisotropies, because perturbations grow at different rates in the two different eras (note that for large-scale structure, there is a third era: that of dark energy domination today; see Exercise 2.14). It is therefore a useful exercise to calculate the epoch of matter-radiation equality. To do this, we need to compute the energy density of both matter and radiation, and then find the value of the scale factor at which they were equal.
Using Eq. (2.76) and Eq. (2.82), we see that, as long as $T_v$ is much larger than all neutrino masses, the total energy density in radiation is
$$
\frac{\rho_{\mathrm{r}}}{\rho_{\mathrm{cr}}}=\frac{4.15 \times 10^{-5}}{h^2 a^4} \equiv \frac{\Omega_{\mathrm{r}}}{a^4} .
$$
To calculate the epoch of matter-radiation equality, we equate Eqs. (2.85) and (2.72) to find
$$
a_{\mathrm{eq}}=\frac{4.15 \times 10^{-5}}{\Omega_{\mathrm{m}} h^2} .
$$
A different way to express this epoch is in terms of redshift $z$; the redshift of equality is
$$
1+z_{\text {eq }}=2.38 \times 10^4 \Omega_{\mathrm{m}} h^2 .
$$
Note that, as the amount of matter in the universe today, $\Omega_{\mathrm{m}} h^2$, goes up, the redshift of equality also goes up.
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|中微子
我们需要考虑的下一个成分是中微子。与光子和重子不同，宇宙中微子还没有被直接观测到，因此关于它们对能量密度的贡献的争论必然是理论上的。然而，这些理论论点是相当有力的，基于非常好理解的物理学。此外，CMB的各向异性限制了早期宇宙中相对论性粒子$\Omega_{\mathrm{r}} h^2$的总密度。普朗克卫星等实验已经发现了大量的相对论粒子(除了已知的光子)的明确证据，这与预期的中微子贡献是一致的。让我们总结一下我们对这些粒子的了解:
- 有三代中微子${ }^7$ .
- 每一代的中微子和反中微子都有一个自旋自由度。
中微子是费米子，在平衡状态下遵循费米-狄拉克分布函数
我们可以利用这些信息来评估宇宙中中微子的能量密度，将其与光子的能量密度联系起来$\rho_\gamma$方便。清单上的前两项意味着中微子的简并因子等于6。第三种意思是我们需要将Eq.(2.73)中被积函数的分母改为$e^{p / T}+1$。得到的费米狄拉克能量积分比相应的玻色斯坦积分小$7 / 8$倍。最后，由于无质量粒子的能量密度为$T^4$，我们可以写出
$$
\rho_v=3 \times \frac{7}{8} \times\left(\frac{T_v}{T}\right)^4 \rho_\gamma .
$$
我们只需要确定$T_v$，正如你可能已经从我们写这个方程的方式中猜到的那样，它与光子温度$T$是不同的 为此，让我们首先考虑早期宇宙中中微子的产生。对中微子相互作用速率的基本理解(图1.4)使我们能够认为中微子曾经与宇宙等离子体的其他部分保持平衡。后来，它们与等离子体失去了联系，因为它们之间的相互作用很弱。确定中微子温度的棘手之处在于，当宇宙温度与电子质量的数量级相同时，电子和正电子的湮灭。中微子在这次湮灭之前稍微失去了与宇宙等离子体的联系，所以它们几乎没有继承任何相关的能量。因此，获得绝大多数能量的光子比中微子更热
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|物质-辐射相等的纪元
物质中的能量密度与辐射中的能量密度相等的时刻称为物质-辐射相等。它对大尺度结构的产生和CMB各向异性的发展具有特殊意义，因为扰动在两个不同的时代以不同的速度增长(注意，对于大尺度结构，还有第三个时代:今天暗能量主导的时代;见练习2.14)。因此，计算物质-辐射相等的时间是一个有用的练习。要做到这一点，我们需要计算物质和辐射的能量密度，然后找到它们相等时的比例因子的值 使用Eq.(2.76)和Eq.(2.82)，我们看到，只要 $T_v$ 比所有中微子质量大得多，辐射中的总能量密度
$$
\frac{\rho_{\mathrm{r}}}{\rho_{\mathrm{cr}}}=\frac{4.15 \times 10^{-5}}{h^2 a^4} \equiv \frac{\Omega_{\mathrm{r}}}{a^4} .
$$为了计算物质-辐射相等的时间，我们用等号。(2.85)和(2.72)查找
$$
a_{\mathrm{eq}}=\frac{4.15 \times 10^{-5}}{\Omega_{\mathrm{m}} h^2} .
$$表示这个纪元的另一种方式是红移 $z$;等式的红移是
$$
1+z_{\text {eq }}=2.38 \times 10^4 \Omega_{\mathrm{m}} h^2 .
$$请注意，作为当今宇宙中的物质总量， $\Omega_{\mathrm{m}} h^2$，上升，相等的红移也上升。
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