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物理代写|结构力学代写Structural Mechanics代考|Final Remarks
Ductility provides a literal safety margin for our ‘incorrect’ trial solutions compared to true behaviour, and coupled to the Lower Bound Theorem returning a smaller, safe ultimate load every time, the freedom to select equilibrium solutions is key to its efficacy.
If we are designing the truss for a fixed load in practice, a lower ultimate prediction means using bars with larger cross-sectional areas than is necessary. The truss, we say, will be over-designed in terms of being able to accommodate a higher fixed load (which hopefully is not applied in practice).
This final statement speaks to the remarkable prescience of the Lower Bound Theorem in general as a design tool. Where else, in Engineering, does an incorrect solution result in a margin of safety and increasingly so for a greater departure from the exact solution? The detriment is, of course, a more massive structure.
We will invariably over-design more complex structures, which have many more equilibrium combinations. Rather than trying to seek one of the better ones, we should aim for simplicity if pressed for time where a ‘back-of-the-envelope’ calculation is not anachronistic.
Again, we note that only the final equilibrium state matters; compatibility does not have to be assessed because of ductility, which is simply contrived. In practice, yielding leads to higher stresses after initial yielding, which would result in the junctions between phases in Fig. $6.2$ becoming more rounded, for example.
We also have a perfect structure in which bars neatly connect together without mis-fitting. There will inevitably be small misalignments with some bars having to be stretched or compressed in order to complete building the truss, giving non-zero tensions for zero loading, as we saw in Chapter $5 .$
Any state of self-stress increases the proximity to yielding but does affect the final capacity of individual members. In this regard, deliberate pre-stressing and unforeseen movements of supports dó noot subtract from the ultimatee load.
物理代写|结构力学代写Structural Mechanics代考|Bending Moment (and Shear Force) Diagrams
Often the scourge of undergraduate exercises, drawing bending moment profiles for slender structures is an essential skill. Their variation tells us about how a beam or column is loaded transversely as well as indicating salient values at pertinent locations where damage may be incurred from extreme loading.
In the case of, say, a steel beam, it will submit to permanent yielding of the material at these points, which concentrates into plastic hinges; collapse of the entire structure may follow depending on how the structure adjusts to more loading. Equally important are shear force diagrams – especially for concrete structures, where failure in shear often dominates that of bending.
The usual way to teach construction of bending moment (and shear force) diagrams is through piece-wise equilibrium. We select a given free body, resolve forces and take moments to establish its variation before doing the same with a different free body. We then assemble the complete profile reliably but inefficiently. We shall adopt a more holistic approach.
For small variations in bending moment, $M$, and shear force, $S$, across an element of straight beam of length $\delta x$, Fig. 7.1(a), equilibrium gives their well-known relationships to some externally applied, transverse loading intensity, $w$, as:
$$
\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} x}=w \quad \text { (a), } \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{~d} x}=S \quad \text { (b) } \rightarrow \quad \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{~d} x^2}=w \quad \text { (c). }
$$
These statements convey much information.
First, the directions of $M$ and $S$ obey an explicit sign convention, which we must always declare a priori. Here, $M$ is positive if the beam is locally hogging and curving upwards, and shear forces point downwards on the left side and vice versa rightside. The latter is also linked to the direction of increasing $x$, for if $x$ is reversed in measurement along the beam, so do the positive shear force directions, in order to preserve the statements above. Indeed, our choice in absolute directions for all leads to an absence of minus signs when $w$ acts downwards in the sense of gravity. We can, of course, choose a different scheme, such as one with positive sagging bending moments, which will introduce minus signs.
We can find the shear force profile by differentiating that of bending moment, if it is constructed first. If not, we may integrate shear to find bending moments, which is tantamount to finding the area underneath the shear force profile.
物理代写|结构力学代写结构力学代考|最后备注
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与真实行为相比，延性为我们的“不正确”试验解提供了字面上的安全边际，并与下界定理相结合，每次返回更小的安全极限负载，选择平衡解的自由是其有效性的关键
如果我们在实际中为固定荷载设计桁架，较低的极限预测意味着使用比必要的更大截面积的杆。桁架，我们说，将过度设计，以能够容纳更高的固定负载(希望没有应用在实践中)
最后这句话说明了下界定理作为设计工具的非凡先见之明。在工程中，一个不正确的解决方案还会导致安全边际，并且越来越多地偏离准确的解决方案吗?当然，损害是更大的结构
我们总是会过度设计更复杂的结构，这些结构有更多的平衡组合。如果时间紧迫，我们应该以简化为目标，而不是试图寻找一个更好的方法，这样“粗略的”计算就不会过时
我们再次注意到，只有最终的平衡态才重要;兼容性不需要评估，因为延展性很简单。在实践中，屈服导致初始屈服后的应力更高，这将导致图$6.2$中相之间的连接变得更圆，例如
我们也有一个完美的结构，酒吧整齐地连接在一起没有错位。为了完成桁架的建造，不可避免地会有一些小的不对中，一些杆必须被拉伸或压缩，为零加载提供非零张力，如我们在$5 .$章中看到的
任何自我压力的状态都会增加屈服的可能性，但确实会影响个体成员的最终能力。在这方面，有意的预应力和不可预见的支架移动dó不能减去最终的负载。
物理代写|结构力学代写结构力学代考|弯矩(和剪力)图
绘制细长结构的弯矩剖面是一项基本技能，这通常是本科生练习的祸害。它们的变化告诉我们梁或柱是如何横向加载的，以及在极端加载可能导致损伤的相关位置的显著值
例如，在钢梁的情况下，它将在这些点上屈服于材料的永久屈服，并集中成塑料铰链;整个结构可能会倒塌，这取决于结构如何适应更多的荷载。同样重要的是剪力图-特别是混凝土结构，在剪切破坏往往主导弯曲破坏
教弯矩(和剪力)图的构造的通常方法是通过分段平衡。我们选择一个给定的自由体，计算力，并在对另一个自由体做同样的事情之前，花点时间建立它的变化。然后，我们可靠地组装完整的配置文件，但效率不高。我们应该采取更全面的方法
对于长度为$\delta x$的直梁单元的弯矩$M$和剪力$S$的微小变化，图7.1(a)，平衡给出了它们与一些外部施加的横向荷载强度$w$的众所周知的关系，如:
$$
\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} x}=w \quad \text { (a), } \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{~d} x}=S \quad \text { (b) } \rightarrow \quad \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{~d} x^2}=w \quad \text { (c). }
$$
这些表述传达了很多信息。首先，$M$和$S$的方向遵循显式符号约定，我们必须始终声明它是先验的。在这里，$M$是正的，如果梁是局部拱起和向上弯曲，剪切力指向向下的左边，反之亦然的右边。后者也与增加$x$的方向相联系，因为如果$x$在沿梁的测量中被逆转，那么正的剪力方向也会被逆转，以保持上面的陈述。的确，当$w$在重力的意义下向下运动时，我们对所有物体的绝对方向的选择导致了负号的缺失。当然，我们可以选择一种不同的方案，例如具有正下垂弯矩的方案，这将引入负号
我们可以通过对弯矩的微分得到剪力剖面，如果它是先构造的。如果没有，我们可以积分剪力求弯矩，这等于求剪力剖面下的面积。
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