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In Fig. 6.1(a.i), bars are either $L$ or $\sqrt{2} L$ long, have the same cross-sectional area $A$ and Young’s Modulus $E$. The symmetry of layout and the force, $F$, applied horizontally ensure that the outer bar tensions are the same and equal to $T_1$ : the middle bar tension is $T_2$. Equilibrium of the loaded pin-joint in Fig. 6.1(b) gives us a single statement for two unknown bar tensions: $F=\sqrt{2} T_1+T_2$.

The same joint displaces by amount $d$ horizontally. During the initial elastic response, the bar extensions are defined by $e_1=T_1(\sqrt{2} L) / A E$ and $e_2=T_2 L / A E$. The extension $e_2$ is equal to $d$ by definition: the other bars also rotate as well as extend with small displacement components respectively normal to and along the bar. The corresponding vector diagram in Fig. 6.1(c) shows that $e_1=d / \sqrt{2}$. The ratio $e_2 / e_1$ is thus $\sqrt{2}$; therefore, $T_2 / T_1=2$.

The same ratio can be found as quickly by using the Virtual Work method of Chapter 5 . Because of the indeterminate nature, we can set either virtual tension to be zero provided we satisfy equilibrium, in order to solve directly for the other. Setting $F^=1$ and $T_2^$ to be zero, $T_1^$ equals $1 / \sqrt{2}$, and with $e_1, e_2$ and $d$ as our real quantities, Virtual Work states that: $$ \begin{gathered} \text { Eq. }(5.1) \rightarrow 1 \cdot d=2 T_1^ \cdot e_1+T_2^* \cdot e_2=2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2} T_1 L}{A E}+0 \
\rightarrow \quad T_1=\frac{A E}{2 L} \cdot d
\end{gathered}
$$
Setting $T_1^$ to be zero, $T_2^$ equals unity for $F^*=1$, and Virtual Work again returns $T_2=(A E / L) \cdot d$

The elastic response considers how $F$ and $d$ are related. Substituting both tensions into the original equilibrium equation and re-arranging non-dimensionally:
$$
F=\sqrt{2} T_1+T_2 \quad \rightarrow \quad F=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{A E}{L} \cdot d
$$
and the displacement builds up linearly as the load increases, until yielding is reached.

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Even for this simplest of indeterminate trusses, our working has not been trivial to account for exact displacements and true equilibrium tensions. The ultimate loading, however, turns out to be a simple equilibrium calculation when both bar tensions are set to be $T_Y$, and the benefit of considering equilibrium solutions by themselves is perhaps obvious.

These final bar tensions should, however, be on the cusp of reaching $T_Y$ so that the yielding condition is not strictly violated. Any other limiting equilibrium solution will obviously have either of $T_1$ or $T_2$ just equal to $T_{\mathrm{Y}}$ but not both, giving a lower ultimate load compared to the optimal value. For example, if we set $T_1=T_{\mathrm{Y}}$ and $T_2=0$, the ultimate load is $F=\sqrt{2} T_1+T_2=\sqrt{2} T_{\mathrm{Y}}$ or $f=\sqrt{2}$.

This result is plotted as the first dashed vertical line in Fig. 6.2(a). The corresponding true tensions from the intersection points are non-zero and can be read off or calculated from Eqs. $6.3$ to give $t_1=1 /(1+\sqrt{2})=0.414$ and $t_2=0.828$. Being less than unity, both tensions are elastic and our structure is safe but operating well below its ultimate capacity.

Imagine, however, that we are ignorant of the true ultimate load but wish to improve our conservative trial solution with a higher, elastic value for $T_2$ whilst retaining $T_1$ at $T_{\mathrm{Y}}$. In particular, set $T_2$ conveniently to $(2-\sqrt{2}) T_{\mathrm{Y}}\left(=0.585 T_{\mathrm{Y}}\right)$, which improves our load estimate, now $F=\sqrt{2} T_1+T_1=2 T_{\mathrm{Y}}(f=2)$.

When plotted as another dashed line in Fig. 6.2(a), $(f=2)$, the true tensions, in fact, behave oppositely: $t_1=1 / \sqrt{2}=0.707$, which is elastic, and $t_2=1$, at yielding.

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在图6.1(a.i)中,杆长$L$或$\sqrt{2} L$,具有相同的截面积$A$和杨氏模量$E$。布局的对称性和水平施加的力$F$,确保外杆张力相同并等于$T_1$:中杆张力为$T_2$。图6.1(b)中受载销节点的平衡给出了两个未知杆张力的单一表述:$F=\sqrt{2} T_1+T_2$ .

同样的关节水平位移量$d$。在初始弹性响应期间,杆的扩展由$e_1=T_1(\sqrt{2} L) / A E$和$e_2=T_2 L / A E$定义。扩展$e_2$根据定义等于$d$:其他杆也旋转和延伸,分别以小的位移分量垂直于杆和沿着杆。图6.1(c)中对应的矢量图显示$e_1=d / \sqrt{2}$。因此,比率$e_2 / e_1$就是$\sqrt{2}$;因此,$T_2 / T_1=2$ .


同样的比率可以用第五章的虚功法很快地求出来。由于不确定的性质,我们可以设置一个虚拟张力为零,只要我们满足平衡,为了直接解决另一个。设$F^=1$和$T_2^$为零,$T_1^$等于$1 / \sqrt{2}$,以$e_1, e_2$和$d$为实量,虚拟工作声明:$$ \begin{gathered} \text { Eq. }(5.1) \rightarrow 1 \cdot d=2 T_1^ \cdot e_1+T_2^* \cdot e_2=2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2} T_1 L}{A E}+0 \
\rightarrow \quad T_1=\frac{A E}{2 L} \cdot d
\end{gathered}
$$
设$T_1^$为零,$T_2^$等于$F^*=1$的统一,虚拟工作再次返回$T_2=(A E / L) \cdot d$

弹性响应考虑$F$和$d$的关系。将两个张力代入原平衡方程,并无量次重新排列:
$$
F=\sqrt{2} T_1+T_2 \quad \rightarrow \quad F=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{A E}{L} \cdot d
$$
位移随着荷载的增加线性增加,直到达到屈服。

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即使对于这种最简单的不确定桁架,我们的工作也不是微不足道的,以说明确切的位移和真正的平衡张力。然而,当两个杆的张力都设置为$T_Y$时,最终的加载结果是一个简单的平衡计算,并且单独考虑平衡解决方案的好处可能是明显的

然而,这些最后的杆张力应该在达到$T_Y$的尖上,这样屈服条件就不会被严格违反。任何其他极限平衡解显然会有$T_1$或$T_2$中的一个等于$T_{\mathrm{Y}}$,但不同时等于,给出一个比最优值更低的终极负荷。例如,如果我们设置$T_1=T_{\mathrm{Y}}$和$T_2=0$,则最终负载为$F=\sqrt{2} T_1+T_2=\sqrt{2} T_{\mathrm{Y}}$或$f=\sqrt{2}$ .


这个结果被绘制为图6.2(a)中第一条虚线。交点对应的真张力是非零的,可以从方程式中读出或计算出来。$6.3$给$t_1=1 /(1+\sqrt{2})=0.414$和$t_2=0.828$。由于不是统一的,这两种张力都是弹性的,我们的结构是安全的,但运行远低于其极限能力


然而,想象一下,我们不知道真正的极限荷载,但希望改进我们的保守试验解决方案,为$T_2$提供一个更高的弹性值,同时将$T_1$保留在$T_{\mathrm{Y}}$。特别是,将$T_2$方便地设置为$(2-\sqrt{2}) T_{\mathrm{Y}}\left(=0.585 T_{\mathrm{Y}}\right)$,这将改进我们的负载估计,现在是$F=\sqrt{2} T_1+T_1=2 T_{\mathrm{Y}}(f=2)$


当在图6.2(a)中画出另一条虚线$(f=2)$时,实际的拉力,实际上表现相反:$t_1=1 / \sqrt{2}=0.707$,它是弹性的,$t_2=1$,在屈服时

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