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物理代写|计算物理代写Computational Physics代考|Programming the Root Finder
Before launching into the code let us just remind ourselves of the nature of the problem we are trying to solve. While units like Joules, kilograms, and meters are all well and good for macroscopic objects, at the quantum level these become extremely cumbersome for quantum objects; especially when performing calculations with a computer. For example, the mass of the electron is roughly $9.1 \times 10^{-31}$ $\mathrm{kg}$ and has a charge of about $1.6 \times 10^{-19}$ coulombs; these are hard numbers that will lend themselves well to precise computations. Some advocate the use of dimensionless variables such that we set a particular coefficient to unity to remove any issues of precision. For instance, we could “choose” units that set the value of $\hbar^2 / 2 m=1$; it does not matter what those units are only that the coefficient is one. However, this requires converting the result from the “dimensionless” units back to SI units or any units of choice which has its advantages but can be non-intuitive and confusing for novice programmers. An alternative is to use explicit unit conversions before computing anything and therefore have results that are immediately identifiable in SI units. The unit conversion will be different for different problems, but the common goal is to make the coefficients have an exponent of one. Typically, we can use the natural units of the problem at hand. Case in point, if we use electron masses, Angstroms, and electron volts as our units of mass, length, and energy respectively then
$$
\hbar^2=7.61996386 m_e e V A^2 .
$$
To see how we arrived at this number let us start with the normal definition of $\hbar$ such that
$$
\hbar=\frac{h}{2 \pi}=\frac{6.62606957 \times 10^{-34}}{2 \pi} \mathrm{Js}
$$
and perform some dimensional analysis on the units.
物理代写|计算物理代写Computational Physics代考|The Mid-Ordinate Rule
The mid-ordinate rule computes an approximation to a definite integral, made by finding the area of a collection of rectangles whose heights are determined by the values of the function at certain discrete, evaluation points along the interval. Figure $5.1$ illustrates the mid-ordinate method. Specifically, the interval $[a, b]$ over which the function is to be integrated is divided into $N$ equal subintervals of length $h=(b-a) / N$. The height of the rectangle is then determincd to be the value of the function found at the mid-point between each subinterval hence the name. The approximation to the integral is then calculated by adding up the areas (base multiplied by height) of the $N$ rectangles, giving the formula:
$$
\int_a^b f(x) d x \approx h \sum_{n=0}^{N-1} f\left(x_n\right)
$$
where $x_n=a+(n+1 / 2) h$. As $N$ gets larger, this approximation gets more accurate. As $N$ approaches infinity, $h$ becomes infinitesimally small (approaches $d x$ ) and we have the definition of an integral. Why is this impossible to do with a computer?
Write a $\mathrm{C}++$ program that uses the mid-ordinate rule on a function that has an analytic solution. This is so we can confirm the accuracy of the method. The improvement in accuracy of the mid-ordinate method should be on the order of $h$, written $\mathcal{O}(h)$. In other words, if the subinterval width $h$ is halved, that is, $N$ is doubled, then the error in the numerical approximation of the integral is also halved.
物理代写|计算物理代写Computational Physics代考|编程根查找器
在开始编写代码之前，让我们先提醒一下我们要解决的问题的性质。虽然焦耳、千克和米这样的单位对于宏观物体来说都很好，但在量子水平上，这些单位对于量子物体来说就变得非常麻烦;特别是在用计算机进行计算时。例如，电子的质量大致为$9.1 \times 10^{-31}$$\mathrm{kg}$，电荷约为$1.6 \times 10^{-19}$库仑;这些是硬数字，可以很好地用于精确计算。有些人主张使用无量纲变量，这样我们就可以设置一个特定的系数来消除精度问题。例如，我们可以“选择”设置$\hbar^2 / 2 m=1$值的单元;单位是什么并不重要，只要系数是1。然而，这需要将“无量纲”单位的结果转换回SI单位或任何选择的单位，这有它的优点，但可能会让新手程序员感到不直观和困惑。另一种方法是在计算任何东西之前使用显式单位转换，从而得到可以立即用SI单位识别的结果。对于不同的问题，单位转换是不同的，但共同的目标是使系数的指数为1。通常，我们可以使用手头问题的自然单位。举个例子，如果我们分别使用电子质量、埃和电子伏作为质量、长度和能量的单位，那么
$$
\hbar^2=7.61996386 m_e e V A^2 .
$$
为了了解我们是如何得到这个数字的，让我们从$\hbar$的正常定义开始，即
$$
\hbar=\frac{h}{2 \pi}=\frac{6.62606957 \times 10^{-34}}{2 \pi} \mathrm{Js}
$$
，并对单位进行一些维度分析。
物理代写|计算物理代写计算物理学代考|中纵坐标规则
中纵坐标规则计算定积分的近似值，其方法是求出矩形集合的面积，矩形集合的高度由函数在区间上的某些离散取值点上的值决定。图$5.1$说明了中纵坐标方法。具体地说，将对函数进行积分的区间$[a, b]$分为长度为$h=(b-a) / N$的相同子区间$N$。然后，矩形的高度被确定为在每个子区间之间的中点处的函数值，因此得名。然后，通过将$N$矩形的面积(底乘以高)相加计算积分的近似值，得到公式:
$$
\int_a^b f(x) d x \approx h \sum_{n=0}^{N-1} f\left(x_n\right)
$$
，其中$x_n=a+(n+1 / 2) h$。随着$N$变得越来越大，这个近似变得越来越准确。当$N$趋于无穷时，$h$变得无穷小(趋于$d x$)，我们就得到了积分的定义。为什么用电脑就做不到呢?
编写一个$\mathrm{C}++$程序，在一个有解析解的函数上使用中坐标规则。这样我们就可以确认该方法的准确性。中纵坐标法的精度的提高应该是$h$的量级，写为$\mathcal{O}(h)$。换句话说，如果子区间宽度$h$减半，即$N$加倍，则积分数值逼近的误差也减半
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