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物理代写|计算物理代写Computational Physics代考|The Infinite Square Well

This problem is sometimes referred to as the particle in a box model. Classically the motion of the particle is governed by Newton’s equations, potential fields put forces on masses causing them to accelerate or change direction. At the quantum level, Newton’s equations are replaced by Schrödinger’s such that for a particle of mass $m$ moving through a (one-dimensional) potential $V(x)$ we have
$$
-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2}=E \psi(x)-V(x) \psi(x)
$$
where $\hbar$ is Planck’s constant $h$ over $2 \pi, E$ is the total energy of the system, and $\psi(x)$ is the wavefunction of the system. Note that this is the time-independent version of the Schrödinger equation; timedependent versions also exist. Like the Newtonian equations, we solve Equation (4.12) for the unknown, in this case, $\psi(x)$. Although there is still some considerable debate over the nature of the wavefunction, certain observable quantities do depend on its form. For instance, the quantity $\psi^(x) \psi(x)$ describes its probability function, that is, the chance of finding the quantum particle at a particular location. More precisely the quantity $\psi^(x) \psi(x) d x$ is the probability of finding the particle in the region $x$ to $x+d x$.

物理代写|计算物理代写Computational Physics代考|The Finite Square Well

The finite square well is somewhat more realistic than the infinite square well. We define the potential as
$$
V(x)=\left{\begin{array}{cc}
V_0, & x<-a \\ 0, & -a \leq x \leq a \\ V_0, & x>a
\end{array}\right.
$$
Note that in this case the well is defined symmetrically about the origin of the $x$-axis, rather than having a barrier at $x=0$. We now consider the three distinct regions namely the region left of the well, the well itself, and the region right of the well. In Figure $4.5$, we label these regions as I, II, and III, respectively, and consider the implications of the potential field on the wavefunction in these three regions.

First, for particles with energy greater than the height of the well $V_0$ their wavefunctions are unbound, in other words, they can move freely, and have any energy. Interestingly, as the particle moves over the well it loses potential energy, which is transformed into kinetic cncrgy and the particle gains momentum. This shows an incrcase in the wavenumber of the wavefunction as the particle travels across the well, c.f. de Broglie (pronounced like Troy) momentum. This can also be seen in the differential equation. For a constant potential across x, Equation (4.12) has the form of a simple harmonic oscillator where the $E-V(x)$ term plays the role of the spring constant. As we go from regions I-II, the potential drops from $V_0$ to zero thus increasing the “spring constant” and the frequency of the oscillations of the particle. The opposite is true as we go from regions IIIII. (Strictly speaking, the wave is progressive rather than stationary so we should use the time-dependent version of Equation (4.12) to govern the physics of motion, though the outcome would at least be qualitatively the same. For arguments sake, you can consider the unbound wavefunctions are the bound states of an infinitely wide quantum well.)

物理代写|计算物理代写Computational Physics代考|PHYS175T

物理代写|计算物理代写计算物理学代考|无限平方阱


这个问题有时被称为盒子里的粒子模型。经典的粒子运动是由牛顿方程控制的,势场对质量施加的力导致它们加速或改变方向。在量子水平上,牛顿方程被Schrödinger方程所取代,这样,对于一个质量为$m$的粒子,通过一个(一维)势$V(x)$,我们有
$$
-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2}=E \psi(x)-V(x) \psi(x)
$$
,其中$\hbar$是普朗克常数$h$除以$2 \pi, E$是系统的总能量,$\psi(x)$是系统的波函数。注意,这是Schrödinger方程的时间无关版本;与时间相关的版本也存在。就像牛顿方程一样,我们求解方程(4.12)的未知数,在这种情况下,$\psi(x)$。尽管对波函数的性质仍有相当大的争论,但某些可观测的量确实取决于它的形式。例如,数量$\psi^(x) \psi(x)$描述了它的概率函数,即在特定位置找到量子粒子的机会。更准确地说,数量$\psi^(x) \psi(x) d x$是在$x$到$x+d x$区域内找到粒子的概率

物理代写|计算物理代写计算物理学代考|有限平方阱

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有限平方井在某种程度上比无限平方井更现实。我们将势垒定义为
$$
V(x)=\left{\begin{array}{cc}
V_0, & x<-a \ 0, & -a \leq x \leq a \ V_0, & x>a
\end{array}\right.
$$
注意,在这种情况下阱是在$x$轴的原点对称定义的,而不是在$x=0$处有势垒。我们现在考虑三个不同的区域,即井的左侧区域、井本身区域和井的右侧区域。在图$4.5$中,我们将这些区域分别标记为I、II和III,并考虑势场对这三个区域波函数的影响

首先,对于能量大于井的高度$V_0$的粒子,它们的波函数是不受约束的,换句话说,它们可以自由移动,并具有任何能量。有趣的是,当粒子在井中移动时,它失去了势能,势能转化为动能,粒子获得了动量。这表明,当粒子穿过阱时,波函数的波数增加,即c.f.德布罗意动量(发音像特洛伊)。这也可以在微分方程中看到。对于穿过x的恒定势,式(4.12)具有简谐振子的形式,其中$E-V(x)$项扮演弹簧常数的角色。当我们从I-II区域出发时,势从$V_0$下降到零,从而增加了“弹簧常数”和粒子振荡的频率。从区域iii开始,情况正好相反。(严格地说,波是渐进的而不是静止的,所以我们应该使用公式(4.12)的时间依赖版本来控制运动的物理,尽管结果至少在定性上是相同的。为了论证的目的,你可以认为无束缚波函数是无限宽量子阱的束缚态

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