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物理代写|计算物理代写Computational Physics代考|Bisection–Newton–Raphson
From the previous section, we note that the Bisection method is robust to initial guesses but slow to converge. Whereas the NewtonRaphson method will converge rapidly but only if the initial guess is relatively close to the root, and in some circumstances may fail to converge at all. Also, the Newton-Raphson method may fail to converge if the gradient of the function in the neighborhood of the root approaches zero. We would therefore like to combine the reliability of the Bisection method with the rapid convergence of the Newton-Raphson method so that for any general function we can find its roots with relative ease.
We can do this by making a hybrid method that decides whether to take a Newton-Raphson step or a Bisection step. As computers cannot think for themselves, we as programmers must provide some logical criteria to determine the step to take. Crucially, if an NR step takes the next approximation outside of our interval, then we should discard it and apply a Bisection step instead; else we accept the NR step. To do this, let us consider our Bisection interval $[a, b]$ with some best approximation to the root, $r$, contained within that interval. To accept the NR step the following inequality has to be satisfied
$$
a<r-\frac{f(r)}{f^{\prime}(r)}<b .
$$
Now while we could use this inequality as the conditional expression in an if statement the coding becomes lengthy and rather difficult to read. We can make our lives easier by rearranging the inequality into the form
$$
y \geq 0 \geq z .
$$
In other words, to satisfy the inequality (4.8) such that the NR step is accepted, the left-hand expression, $y$, must be positive or zero, and the right-hand expression, $z$, must be negative or zero. We can therefore apply the trick of comparing the product of $y$ and $z$ to zero to determine whether the inequality has been satisfied. To rearrange inequality (4.8) into the form of $(4.9)$ we subtract $r$, multiply through by $-f^{\prime}(r)$, and lastly, subtract $f(r)$ resulting in
$$
(r-a) f^{\prime}(r)-f(r) \geq 0 \geq(r-b) f^{\prime}(r)-f(r)
$$
物理代写|计算物理代写Computational Physics代考|Brute Force Search
In the previous sections, we have developed solid methods to accurately compute the roots of a function, so long as we know the rough locations of those roots in advance. The problem then is finding those rough locations. One straightforward technique is to graph the functions either by hand or using a plotting program and obtain those bounds by eye. This is recommended when finding the roots of a function is the problem to solve. But what if the root-finding is only one part of a bigger problem? It would be impractical to manually locate the rough location of roots for numerous functions in this case.
Typically, we use an exhaustive root search across a region of interest (ROI) for the function. That is, starting at the minimum value of the ROI we step the value of $x$ by some small amount and check to see if the function has changed significantly within that small step. If it has, we have found the bounds of at least one root, if not we continue the search. This continues until the whole ROI has been covered. How then do we decide on the step size? Too small and we make our rapidly converging root-inding algorithms redun(ant; too large and we run the risk of stepping over multiple roots (for an even number of roots this means missing them entirely, for step size is an educated guess and is very much dependent on the function under investigation.
The program rootSearch.cpp showcases our root searching classes on the Legendre polynomial:
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P_{\mathrm{s}}=\frac{6435 x^5-12012 x^6+6930 x^4-1260 x^2+35}{128}
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物理代写|计算物理代写Computational Physics代考| 等分牛顿拉弗森定律
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在上一节中，我们注意到Bisection方法对于初始猜测是稳健的，但收敛速度较慢。而newton – raphson方法只有在初始猜想相对接近根的情况下才会快速收敛，而且在某些情况下可能根本不会收敛。此外，如果函数在根附近的梯度趋近于零，Newton-Raphson方法可能无法收敛。因此，我们希望将Bisection方法的可靠性与Newton-Raphson方法的快速收敛性结合起来，以便对于任何一般函数，我们都能相对容易地找到它的根
我们可以通过制作一个混合方法来决定是采用Newton-Raphson步长还是Bisection步长。由于计算机不能自己思考，作为程序员的我们必须提供一些逻辑标准来决定要采取的步骤。至关重要的是，如果一个NR阶跃在我们的区间外取下一个近似，那么我们应该放弃它，并应用一个Bisection阶跃代替;否则我们接受NR步骤。为了做到这一点，让我们考虑我们的平分区间$[a, b]$，在这个区间内包含根的最佳近似$r$。要接受NR步长，必须满足以下不等式
$$
a<r-\frac{f(r)}{f^{\prime}(r)}<b .
$$
现在，虽然我们可以在if语句中使用这个不等式作为条件表达式，但编码变得冗长且相当难读。我们可以通过将不等式重新排列为
$$
y \geq 0 \geq z .
$$
的形式来简化我们的工作。换句话说，为了满足不等式(4.8)，以便接受NR步长，左边的表达式$y$必须是正的或零，而右边的表达式$z$必须是负的或零。因此，我们可以使用将$y$和$z$的乘积与零比较的技巧来确定不等式是否满足。为了将不等式(4.8)重新排列为$(4.9)$的形式，我们减去$r$，两边同时乘以$-f^{\prime}(r)$，最后减去$f(r)$，得到
$$
(r-a) f^{\prime}(r)-f(r) \geq 0 \geq(r-b) f^{\prime}(r)-f(r)
$$
物理代写|计算物理代写Computational Physics代考|蛮力搜索
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在前面的章节中，我们已经开发了精确计算函数根的可靠方法，只要我们事先知道这些根的粗略位置。接下来的问题是如何找到这些粗糙的地点。一种直接的技术是用手或用绘图程序画出函数的图形，然后用肉眼得到这些边界。当寻找函数的根是要解决的问题时，建议这样做。但如果寻根只是更大问题的一部分呢?在这种情况下，手动定位众多函数的根的粗略位置是不切实际的
通常，我们对函数使用跨感兴趣区域(ROI)的穷举根搜索。也就是说，从ROI的最小值开始，我们将$x$的值增加一小步，然后检查函数在这一小步中是否发生了显著变化。如果有，我们至少找到了一个根的边界，如果没有，我们继续搜索。这将一直持续下去，直到覆盖了整个ROI。那么我们如何决定步长呢?如果太小，我们会使快速收敛的寻根算法redun(蚂蚁;如果太大，我们就会有跨越多个根的风险(对于偶数个根，这意味着完全错过它们，因为步长是一个有根据的猜测，在很大程度上取决于所研究的函数。
程序rootSearch.cpp展示了我们在Legendre多项式上的根搜索类:
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P_{\mathrm{s}}=\frac{6435 x^5-12012 x^6+6930 x^4-1260 x^2+35}{128}
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