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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Joint Moments of Random Variables
$\Lambda \mathrm{s}$ in the case of univariate distributions, the best way to interpret the unknown parameters is via the moments. In direct analogy to the univariate case, we define the joint product moments of $\operatorname{order}(k, m)$ by
$$
\mu_{k m}^{\prime}=E\left{X^k Y^m\right}, k, m=0,1,2, \ldots
$$
and the joint central moments of order $(k, m)$ by
$$
\mu_{k m}=E\left{(X-E(X))^k(Y-E(Y))^m\right}, k, m=0,1,2, \ldots
$$
The first two joint product and central moments are
$$
\begin{array}{ll}
\mu_{10}^{\prime}=E(X), \mu_{01}^{\prime}=E(Y), & \mu_{10}=0, \mu_{01}=0 \
\mu_{20}^{\prime}=E(X)^2+\operatorname{Var}(X), & \mu_{20}=\operatorname{Var}(X) \
\mu_{02}^{\prime}=E(Y)^2+\operatorname{Var}(Y), & \mu_{02}=\operatorname{Var}(Y), \
\mu_{11}^{\prime}=E(X \cdot Y), & \mu_{11}=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] .
\end{array}
$$
The most important and widely used joint moment is the covariance, defined by
$$
\mu_{11}:=\operatorname{Cov}(X, Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} .
$$
Example 4.6 Consider the joint Normal distribution whose density is given in (4.7). We know from Chapter 3 that the parameters $\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_{11}, \sigma_{22}\right)$ correspond to the moments:
$$
\mu_1=E(Y), \quad \mu_2=E(X), \quad \sigma_{11}=\operatorname{Var}(Y), \quad \sigma_{22}=\operatorname{Var}(X) .
$$
The additional parameter $\sigma_{12}$ turns out to be the covariance between the two random variables, i.e. $\sigma_{12}:=\operatorname{Cov}(X, Y)$.
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|The n Random Variables Joint Distribution
Extending the concept of a random variable from a two-dimensional to an $n$-dimensional random vector $\mathbf{X}(.):=\left(X_1(.), X_2(.), \ldots, X_n(.)\right)$ is straightforward:
$$
\mathbf{X}(.): S \rightarrow \mathbb{R}^n,
$$
where $\mathbb{R}^n:=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}$ denotes the Cartesian product of the real line (Chapter 2 ). The $n$-variable function $\mathbf{X}($.) is said to be a random vector relative to $\Im$ if
$\mathbf{X}(.): S \rightarrow \mathbb{R}^n$, such that $\mathbf{X}^{-1}((-\infty, \mathbf{x}]) \in \mathfrak{3}$, for all $\mathbf{x} \in \mathbb{R}_X^n$,
where $\mathbf{x}:=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ and $(-\infty, \mathbf{x}]:=\left(-\infty, x_1\right] \times\left(-\infty, x_2\right] \times \cdots \times\left(-\infty, x_n\right]$. Note that all the random variables $\left(X_1(.), X_2(.), \ldots, X_n(.)\right)$ are defined on the same outcomes set $S$ and relative to the same event space $\Re$.
In view of the fact that $\Im$ is a $\sigma$-field, we know that $\mathbf{X}:=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ is a random vector relative to $\Im$ if and only if the random variables $\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ are random variables relative to $\Im$. This is because $X_k^{-1}\left(-\infty, x_k\right] \in \Im$ for all $k=1,2, \ldots, n$, and so does their intersection:
$$
\left(\bigcap_{k=1}^n X_k^{-1}\left(-\infty, x_k\right]\right) \in \mathcal{\aleph} .
$$
The concepts introduced above for the two random variable case can easily be extended to the $n$ random variable case, satisfying similar properties as shown in Table 4.4.
统计代写|统计推断代写统计推断代考|随机变量关节矩
$\Lambda \mathrm{s}$在单变量分布的情况下，解释未知参数的最佳方式是通过矩。与单变量情况直接类似，我们用
$$
\mu_{k m}^{\prime}=E\left{X^k Y^m\right}, k, m=0,1,2, \ldots
$$
定义了$\operatorname{order}(k, m)$的关节积矩，用
$$
\mu_{k m}=E\left{(X-E(X))^k(Y-E(Y))^m\right}, k, m=0,1,2, \ldots
$$
定义了$(k, m)$的有序关节中心矩。前两个关节积矩和中心矩是
$$
\begin{array}{ll}
\mu_{10}^{\prime}=E(X), \mu_{01}^{\prime}=E(Y), & \mu_{10}=0, \mu_{01}=0 \
\mu_{20}^{\prime}=E(X)^2+\operatorname{Var}(X), & \mu_{20}=\operatorname{Var}(X) \
\mu_{02}^{\prime}=E(Y)^2+\operatorname{Var}(Y), & \mu_{02}=\operatorname{Var}(Y), \
\mu_{11}^{\prime}=E(X \cdot Y), & \mu_{11}=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] .
\end{array}
$$
最重要和应用最广泛的关节矩是方差，用
$$
\mu_{11}:=\operatorname{Cov}(X, Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} .
$$
定义。从第3章我们知道，参数$\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_{11}, \sigma_{22}\right)$对应力矩:
$$
\mu_1=E(Y), \quad \mu_2=E(X), \quad \sigma_{11}=\operatorname{Var}(Y), \quad \sigma_{22}=\operatorname{Var}(X) .
$$
附加参数$\sigma_{12}$原来是两个随机变量之间的协方差，即$\sigma_{12}:=\operatorname{Cov}(X, Y)$ .
统计代写|统计推断代写统计推断代考| n随机变量联合分布
将随机变量的概念从二维扩展到$n$ -维随机向量$\mathbf{X}(.):=\left(X_1(.), X_2(.), \ldots, X_n(.)\right)$是很直接的:
$$
\mathbf{X}(.): S \rightarrow \mathbb{R}^n,
$$
其中$\mathbb{R}^n:=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}$表示实线的笛卡尔积(第2章)。$n$ -variable函数$\mathbf{X}($ .)被认为是一个相对于$\Im$的随机向量，如果
$\mathbf{X}(.): S \rightarrow \mathbb{R}^n$，则$\mathbf{X}^{-1}((-\infty, \mathbf{x}]) \in \mathfrak{3}$对于所有$\mathbf{x} \in \mathbb{R}_X^n$，
其中$\mathbf{x}:=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$和$(-\infty, \mathbf{x}]:=\left(-\infty, x_1\right] \times\left(-\infty, x_2\right] \times \cdots \times\left(-\infty, x_n\right]$。请注意，所有随机变量$\left(X_1(.), X_2(.), \ldots, X_n(.)\right)$都是在相同的结果集$S$上定义的，并且相对于相同的事件空间$\Re$ .
鉴于 $\Im$ 是一个 $\sigma$-field，我们知道 $\mathbf{X}:=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ 一个随机向量是相对于 $\Im$ 当且仅当随机变量 $\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ 随机变量是相对于 $\Im$。这是因为 $X_k^{-1}\left(-\infty, x_k\right] \in \Im$ 为了所有人 $k=1,2, \ldots, n$，它们的交集
$$
\left(\bigcap_{k=1}^n X_k^{-1}\left(-\infty, x_k\right]\right) \in \mathcal{\aleph} .
$$
上述为两个随机变量情况引入的概念可以很容易地推广到 $n$ 随机变量情况下，满足类似性质，如表4.4所示
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