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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|From Random Trials to a Random Sample: A First View

As argued in Chapter 2, a simple sampling space $\mathcal{G}n^{\mathrm{IID}}:=\left{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}_n\right}$ is a set of random trials, which are both Independent (I) $\mathbb{P}{(n)}\left(\mathcal{A}1 \cap \mathcal{A}_2 \cap \cdots \cap \mathcal{A}_k\right)=\prod{i=1}^k \mathbb{P}_i\left(\mathcal{A}_i\right)$, for $k=2,3, \ldots, n$,
Identically distributed (ID) $\mathbb{P}_1(.)=\mathbb{P}_2(.)=\cdots=\mathbb{P}_n(.)=\mathbb{P}(.)$.

Independence is related to the condition that “the outcome of one trial does not affect and is not affected by the outcome of any other trial,” or equivalently:
$$
\mathbb{P}{(n)}\left(\mathcal{A}_k \mid \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}{k-1}, \mathcal{A}_{k+1}, \ldots, \mathcal{A}_n\right)=\mathbb{P}_k\left(\mathcal{A}_k\right), \text { for } k=1,2, \ldots, n
$$
The second pertains to “keeping the same probabilistic setup from one trial to the next,” ensuring that the events and probabilities associated with the different outcomes remain the same for all trials.

Having introduced the concept of a random variable in Chapter 3, it is natural to map $\mathcal{G}n^{\text {IID }}$ onto the real line to transform the trials $\left{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}_n\right}$ into a set of random variables $\mathbf{X}:=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$. The set function $\mathbb{P}{(n)}(.)$ will be transformed into the joint distribution function $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$. Using these two concepts we can define the concept of a random sample $\mathbf{X}$ to be a set of IID random variables.

A bird’s-eye view of the chapter. In Section $4.2$ we introduce the concept of a joint distribution using the simple bivariate case for expositional purposes. In Section $4.3$ we relate the concept of the joint distribution to that of the marginal (univariate) distribution. Section $4.4$ introduces the concept of conditioning and conditional distributions as it relates to both the joint and marginal distributions. In Section $4.5$ we define the concept of independence using the relationship between the joint, marginal, and conditional distributions. In Section $4.6$ we define the concept of identically distributed in terms of the joint and marginal distributions and proceed to define the concept of a random sample. In Section $4.7$ we introduce the concept of a function of random variables and its distribution with the emphasis placed on applications to the concept of an ordered random sample. Section $4.8$ completes the transformation of a simple statistical space into a simple statistical model.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Joint Distributions of Discrete Random Variables

In order to understand the concept of a set of random variables (a random vector), we consider first the two random variable, case since the extension of the ideas to $n$ random variables is simple in principle, but complicated in terms of notation.

Random vector. Consider the two simple random variables (random variables) $X(.)$ and $Y(.)$ defined on the same probability space $(S, \Im, \mathbb{P}(.))$, i.e.
$X(.): S \rightarrow \mathbb{R}$, such that $X^{-1}(x) \in \mathcal{S}$, for all $x \in \mathbb{R}$,
$Y(.): S \rightarrow \mathbb{R}$, such that $Y^{-1}(y) \in \Im$, for all $y \in \mathbb{R}$.
REMARK: Recall that $Y^{-1}(y)={s: Y(s)=y, s \in S}$ denotes the pre-image of the function $Y(.)$ and not its inverse. Viewing them separately, we can define their individual density functions, as explained in the previous chapter, as follows:
$$
\mathbb{P}(s: X(s)=x)=f_x(x)>0, x \in \mathbb{R}_X, \mathbb{P}(s: Y(s)=y)=f_y(y)>0, y \in \mathbb{R}_Y,
$$
where $\mathbb{R}_X$ and $\mathbb{R}_Y$ denote the support of the density functions of $X$ and $Y$. Viewing them together, we can think of each pair $(x, y) \in \mathbb{R}_X \times \mathbb{R}_Y$ as events of the form
$$
{s: X(s)=x, Y(s)=y}:={s: X(s)=x} \cap{s: Y(s)=y},(x, y) \in \mathbb{R}_X \times \mathbb{R}_Y .
$$
In view of the fact that the event space $\Im$ is a $\sigma$-field, and thus closed under intersections, the mapping
$$
\mathbf{Z}(., .):=(X(.), Y(.)): S \rightarrow \mathbb{R}^2
$$
is a random vector, since the pre-image of $\mathbf{Z}(.)$ belongs to the event space $\Im$ :
$$
\mathbf{Z}^{-1}(x, y)=\left[\left(X^{-1}(x)\right) \cap\left(Y^{-1}(y)\right)\right] \in \mathfrak{,},
$$
since by definition, $X^{-1}(x) \in \Im$ and $Y^{-1}(y) \in \mathcal{S}$ (being a $\sigma$-field; see Chapter 3 ).
Joint density. The joint density function is defined by
$$
\begin{aligned}
&f(., .): \mathbb{R}_X \times \mathbb{R}_Y \rightarrow[0,1] \
&f(x, y)=\mathbb{P}{s: X(s)=x, Y(s)=y},(x, y) \in \mathbb{R}_X \times \mathbb{R}_Y
\end{aligned}
$$

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|STAT3013

统计代写|统计推断代写统计推断代考|From Random Trials to a Random Sample: a First View


如第2章所述,简单抽样空间$\mathcal{G}n^{\mathrm{IID}}:=\left{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}_n\right}$是一组随机试验,它们都是Independent (I) $\mathbb{P}{(n)}\left(\mathcal{A}1 \cap \mathcal{A}_2 \cap \cdots \cap \mathcal{A}_k\right)=\prod{i=1}^k \mathbb{P}_i\left(\mathcal{A}_i\right)$,对于$k=2,3, \ldots, n$,
同分布(ID) $\mathbb{P}_1(.)=\mathbb{P}_2(.)=\cdots=\mathbb{P}_n(.)=\mathbb{P}(.)$。

独立性与“一个试验的结果不影响也不受任何其他试验结果的影响”的条件相关,或等效地:
$$
\mathbb{P}{(n)}\left(\mathcal{A}k \mid \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}{k-1}, \mathcal{A}{k+1}, \ldots, \mathcal{A}_n\right)=\mathbb{P}_k\left(\mathcal{A}_k\right), \text { for } k=1,2, \ldots, n
$$
第二个涉及“从一个试验到下一个试验保持相同的概率设置”,确保与不同结果相关的事件和概率在所有试验中保持相同


在第3章中介绍了随机变量的概念之后,很自然地要将$\mathcal{G}n^{\text {IID }}$映射到实线上,将试验$\left{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots, \mathcal{A}_n\right}$转换为一组随机变量$\mathbf{X}:=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$。集合函数$\mathbb{P}{(n)}(.)$将被转换为联合分布函数$f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$。使用这两个概念,我们可以将一个随机样本$\mathbf{X}$的概念定义为一组IID随机变量

这一章的鸟瞰图。在$4.2$节中,我们使用简单的二元情况来介绍联合分布的概念。在$4.3$节中,我们将联合分布的概念与边际(单变量)分布的概念联系起来。$4.4$节介绍了条件分布和条件分布的概念,因为它涉及到联合分布和边缘分布。在$4.5$节中,我们使用联合分布、边缘分布和条件分布之间的关系定义了独立性的概念。在$4.6$节中,我们根据联合分布和边缘分布定义同分布的概念,并继续定义随机样本的概念。在$4.7$节中,我们介绍了随机变量函数及其分布的概念,重点介绍了有序随机样本概念的应用。$4.8$节完成了简单统计空间到简单统计模型的转换

统计代写|统计推断代写统计推断代考|离散随机变量的联合分布


为了理解一组随机变量(一个随机向量)的概念,我们首先考虑两个随机变量,case自扩展到$n$随机变量的思想在原理上很简单,但在符号方面很复杂

随机向量。将两个简单随机变量(随机变量)$X(.)$和$Y(.)$定义在同一个概率空间$(S, \Im, \mathbb{P}(.))$上,即
$X(.): S \rightarrow \mathbb{R}$,使$X^{-1}(x) \in \mathcal{S}$对于所有$x \in \mathbb{R}$,
$Y(.): S \rightarrow \mathbb{R}$,使$Y^{-1}(y) \in \Im$对于所有$y \in \mathbb{R}$ .
注:记住,$Y^{-1}(y)={s: Y(s)=y, s \in S}$表示函数$Y(.)$的前像,而不是其逆像。分别查看它们,我们可以定义它们各自的密度函数,如上一章所述,如下:
$$
\mathbb{P}(s: X(s)=x)=f_x(x)>0, x \in \mathbb{R}_X, \mathbb{P}(s: Y(s)=y)=f_y(y)>0, y \in \mathbb{R}_Y,
$$
,其中$\mathbb{R}_X$和$\mathbb{R}_Y$表示支持$X$和$Y$的密度函数。将它们一起查看,我们可以将每一对$(x, y) \in \mathbb{R}_X \times \mathbb{R}_Y$看作是形式
$$
{s: X(s)=x, Y(s)=y}:={s: X(s)=x} \cap{s: Y(s)=y},(x, y) \in \mathbb{R}_X \times \mathbb{R}_Y .
$$
的事件。鉴于事件空间$\Im$是$\sigma$ -字段,因此在交集下关闭,映射
$$
\mathbf{Z}(., .):=(X(.), Y(.)): S \rightarrow \mathbb{R}^2
$$
是一个随机向量,因为$\mathbf{Z}(.)$的预映像属于事件空间$\Im$:
$$
\mathbf{Z}^{-1}(x, y)=\left[\left(X^{-1}(x)\right) \cap\left(Y^{-1}(y)\right)\right] \in \mathfrak{,},
$$
,因为根据定义,$X^{-1}(x) \in \Im$和$Y^{-1}(y) \in \mathcal{S}$(是$\sigma$ -字段;参见第三章)。
关节密度。关节密度函数定义为
$$
\begin{aligned}
&f(., .): \mathbb{R}_X \times \mathbb{R}_Y \rightarrow[0,1] \
&f(x, y)=\mathbb{P}{s: X(s)=x, Y(s)=y},(x, y) \in \mathbb{R}_X \times \mathbb{R}_Y
\end{aligned}
$$

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考

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