统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|MAST20005

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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Marginal Distributions

The second component of condition [c], relating to the independence of the trials, is defined in terms of a simple relationship between the joint density function $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n ; \boldsymbol{\phi}\right)$ and the density functions of the individual random variables $X_1, X_2, \ldots, X_n$, referred to as the marginal distributions. Let us see how the marginal is related to the joint distribution.

It should come as no surprise to learn that from the joint distribution one can always recover the marginal (univariate) distributions of the individual random variables involved. In terms of the joint cdf, the marginal distribution is derived via a limiting process:
$$
F_X(x)=\lim {y \rightarrow \infty} F(x, y) \quad \text { and } \quad F_Y(y)=\lim {x \rightarrow \infty} F(x, y) .
$$
Example 4.11 Let us consider the case of the bivariate exponential cdf:
$$
F(x, y)=F(x, y)=\left(1-e^{-\alpha x}\right)\left(1-e^{-\beta y}\right), \alpha>0, \beta>0, x>0, y>0 .
$$
Given that $\lim {n \rightarrow \infty}\left(e^{-n}\right)=e^{-\infty}=0$, we can deduce that $$ F_X(x)=\lim {y \rightarrow \infty} F(x, y)=1-e^{-\alpha x}, x>0, \quad F_Y(y)=\lim {x \rightarrow \infty} F(x, y)=1-e^{-\beta y}, y>0 . $$ Let us see how the marginalization is defined in terms of the density functions. In view of the fact that $$ F_X(x)=\lim {y \rightarrow \infty} F(x, y)=\lim {y \rightarrow \infty} \int{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(x, y) d y d x=\int_{-\infty}^x\left\lfloor\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d y\right\rfloor d x,
$$ and the relationship between $F_X(x)$ and $f_x(x)$, we can deduce that
$$
f_x(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d y, x \in \mathbb{R}X . $$ Similarly, in terms of the joint density function, the marginal density function of $Y$ is derived via $$ f_y(y)=\int{-\infty}^{\infty} f(x, y) d x, y \in \mathbb{R}_{Y:}
$$
That is, marginalization amounts to integrating out the other random variable.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Continuous Random Variables

In the case of two continuous random variables $X$ and $Y$, we cannot use the events $A={Y=$ $y}$ and $B={X=x}$ in order to transform (4.20) in terms of density functions, because as we know, in such a case $P(X=x)=0$ and $P(Y=y)=0$ for all $x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}$. As in the case of the definition of the joint and marginal density functions, we need to consider events of the form
$$
A={X \leq x} \text { and } B={Y \leq y} .
$$
However, even in the case of continuous random variables, we would like to be able to refer to the conditional distribution of $Y$ given $X=x$. The way we get around the mathematical difficulties is by way of the conditional cumulative distribution function defined as follows:
$$
F_{Y \mid X}(y \mid X=x)=\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathbb{P}(Y \leq y, x \leq X \leq x+h)}{\mathbb{P}\left(x{-} X_{-} x+h\right)},
$$
where $h \rightarrow 0^{+}$reads “as $h$ tends to 0 through values greater than 0 .” After some mathematical manipulations, we can show that
$$
F_{Y \mid X}(y \mid X=x)=\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathbb{P}(Y \leq y, x \leq X \leq x+h)}{\mathbb{P}(x \leq X \leq x+h)}=\int{-\infty}^y \frac{f(x, u)}{f_x(x)} d u .
$$
This suggests that in the case of two continuous random variables $X$ and $Y$, we could indeed define the conditional density function as in (4.21) but we should not interpret $f(y \mid x)$ as assigning probabilities because
$$
f(. \mid x): \mathbb{R}_Y \rightarrow[0, \infty)
$$
As we can see, the conditional density is a proper density function, in so far as, in the case of continuous random variables, it satisfies the properties in Table $4.5$.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|MAST20005

统计代写|统计推断代写统计推断代考|边际分布

条件[c]的第二部分与试验的独立性有关,用联合密度函数$f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n ; \boldsymbol{\phi}\right)$和个别随机变量的密度函数$X_1, X_2, \ldots, X_n$之间的简单关系来定义,称为边缘分布。


从联合分布中,我们总能得到所涉及的单个随机变量的边际(单变量)分布,这应该不会让人感到惊讶。就联合cdf而言,边际分布是通过一个极限过程推导出来的:
$$
F_X(x)=\lim {y \rightarrow \infty} F(x, y) \quad \text { and } \quad F_Y(y)=\lim {x \rightarrow \infty} F(x, y) .
$$
例4.11让我们考虑二元指数cdf的情况:
$$
F(x, y)=F(x, y)=\left(1-e^{-\alpha x}\right)\left(1-e^{-\beta y}\right), \alpha>0, \beta>0, x>0, y>0 .
$$
给定$\lim {n \rightarrow \infty}\left(e^{-n}\right)=e^{-\infty}=0$,我们可以推导$$ F_X(x)=\lim {y \rightarrow \infty} F(x, y)=1-e^{-\alpha x}, x>0, \quad F_Y(y)=\lim {x \rightarrow \infty} F(x, y)=1-e^{-\beta y}, y>0 . $$让我们看看边际是如何用密度函数定义的。鉴于$$ F_X(x)=\lim {y \rightarrow \infty} F(x, y)=\lim {y \rightarrow \infty} \int{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(x, y) d y d x=\int_{-\infty}^x\left\lfloor\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d y\right\rfloor d x,
$$和$F_X(x)$与$f_x(x)$的关系,我们可以推出
$$
f_x(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d y, x \in \mathbb{R}X . $$同样,联合密度函数中$Y$的边际密度函数由$$ f_y(y)=\int{-\infty}^{\infty} f(x, y) d x, y \in \mathbb{R}_{Y:}
$$
推导,即边缘化等于对另一个随机变量进行积分。

统计代写|统计推断代写统计推断代考|连续随机变量


在两个连续随机变量$X$和$Y$的情况下,我们不能使用事件$A={Y=$$y}$和$B={X=x}$在密度函数方面转换(4.20),因为我们知道,在这种情况下$P(X=x)=0$和$P(Y=y)=0$为所有$x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}$。在定义关节和边缘密度函数的情况下,我们需要考虑形式为
$$
A={X \leq x} \text { and } B={Y \leq y} .
$$
的事件。然而,即使是在连续随机变量的情况下,我们希望能够引用$Y$给定$X=x$的条件分布。我们绕过数学难题的方法是通过条件累积分布函数定义如下:
$$
F_{Y \mid X}(y \mid X=x)=\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathbb{P}(Y \leq y, x \leq X \leq x+h)}{\mathbb{P}\left(x{-} X_{-} x+h\right)},
$$
其中$h \rightarrow 0^{+}$读取“当$h$通过大于0的值趋向于0”,经过一些数学操作,我们可以表明
$$
F_{Y \mid X}(y \mid X=x)=\lim {h \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathbb{P}(Y \leq y, x \leq X \leq x+h)}{\mathbb{P}(x \leq X \leq x+h)}=\int{-\infty}^y \frac{f(x, u)}{f_x(x)} d u .
$$
这表明在两个连续随机变量$X$和$Y$的情况下,我们确实可以定义条件密度函数如(4.21),但我们不应该将$f(y \mid x)$解释为分配概率,因为
$$
f(. \mid x): \mathbb{R}_Y \rightarrow[0, \infty)
$$
我们可以看到,条件密度是一个合适的密度函数,就目前而言,在连续随机变量的情况下,它满足表$4.5$ .中的属性

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考

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