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In Chaps. 3 and 7 , linear models were used to analyse if the variations of the price (the variables were transformed in Sect. 1.9) could be explained by other variables. A reduced model was obtained in Sect. $7.3$ with the results shown in Table 7.1, with $r^2=0.763$. The model was:
$$
\begin{aligned}
X_{14}=& \beta_0+\beta_4 X_4+\beta_5 X_5+\beta_6 X_6+\beta_8 X_8+\beta_9 X_9+\beta_{10} X_{10}+\beta_{11} X_{11} \
&+\beta_{12} X_{12}+\beta_{13} X_{13}
\end{aligned}
$$
One factor $\left(X_4\right)$ was coded as a binary variable (1, if the house is close to the Charles River and 0 if it is not). Taking advantage of the ANCOVA models described above, we would like to add to a new factor built from the original quantitative variable $X_9=$ index of accessibility to radial highways. So we will transform $X_4$ as being 1 if close to the Charles River and $-1$ if not, and we will replace $X_9$ by a new factor coded $X_{15}=1$ if $X_9 \geq$ median $\left(X_9\right)$ and $X_{15}=-1$ if $X_9<\operatorname{median}\left(X_9\right)$. We also want to consider the interaction of $X_4$ with $X_{12}$ (proportion of blacks) and the interaction of $X_4$ with the new factor $X_{15}$. The results are shown in Table 8.5.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Categorical Responses

In many applications, the response variable of interest is qualitative or categorical, in the sense that the response can take its nominal value in one of, say, $K$ classes or categories. Often we observe counts $y_k$, the number of observations in category $k=1, \ldots, K$. If the total number of observations $n=\sum_{k=1}^K y_k$ is fixed and we may assume independence of the observations, we obtain a multinomial sampling process.

If we denote by $p_k$ the probability of observing the $k$ th category with $\sum_{k=1}^K p_k=$ 1, we have $\mathrm{E}\left(Y_k\right)=m_k=n p_k$. The likelihood of the sample can then be written as:
$$
L=\frac{n !}{\prod_{k=1}^K y_{k} !} \prod_{k=1}^K\left(\frac{m_k}{n}\right)^{y_k} .
$$

In contingency tables, the categories are defined by several qualitative variables. For example in a $\left(J \times K\right.$ ) two-way table, the observations (counts) $y_{j k}, j=1, \ldots, J$ and $k=1, \ldots, K$ are reported for row $j$ and column $k$. Here $n=\sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K y_{j k}$. Log-linear models introduce a linear structure on the logarithms of the expected frequencies $m_{j k}=\mathrm{E}\left(y_{j k}\right)=n p_{j k}$, with $\sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K p_{j k}=1$. Log-linear structures on $m_{j k}$ will impose the same structure for the $p_{j k}$, the estimation of the model will then be obtained by constrained maximum likelihood. Three-way tables $(J \times K \times L)$ may be analysed in the same way.

Sometimes additional information is available on explanatory variables $x$. In this case, the logit model will be appropriate when the categorical response is binary ( $K=2$ ). We will introduce these models when the main response of interest is binary (for instance tables $(2 \times K)$ or $(2 \times K \times L)$ ). Further, we will show how they can be adapted to the case of contingency tables. Contingency tables are also analysed by multivariate descriptive tools in Chap. $15 .$

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在第3章和第7章中,使用线性模型来分析价格的变化(变量在第1.9节中转换)是否可以用其他变量解释。在章节$7.3$中得到一个简化模型,结果如表7.1所示,其中$r^2=0.763$。模型是:
$$
\begin{aligned}
X_{14}=& \beta_0+\beta_4 X_4+\beta_5 X_5+\beta_6 X_6+\beta_8 X_8+\beta_9 X_9+\beta_{10} X_{10}+\beta_{11} X_{11} \
&+\beta_{12} X_{12}+\beta_{13} X_{13}
\end{aligned}
$$
一个因子$\left(X_4\right)$被编码为二进制变量(1,如果房子靠近查尔斯河,则为0)。利用上面描述的ANCOVA模型,我们想要添加一个由原始的径向公路可达性定量变量$X_9=$指数构建的新因子。因此,如果接近查尔斯河,我们将把$X_4$转换为1,如果不接近查尔斯河,则将$-1$转换为1,并且我们将用一个新的因子替换$X_9$,编码为$X_{15}=1$如果$X_9 \geq$中位数$\left(X_9\right)$, $X_{15}=-1$如果$X_9<\operatorname{median}\left(X_9\right)$。我们还想考虑$X_4$与$X_{12}$(黑人比例)的相互作用,以及$X_4$与新因子$X_{15}$的相互作用。结果如表8.5所示

统计代写|多元统计分析代写多元统计分析代考|分类反应

.


在许多应用中,感兴趣的响应变量是定性的或分类的,也就是说,响应可以在$K$类或类别中取其名义值。我们经常观察$y_k$,即$k=1, \ldots, K$类别中的观察数。如果观察总数$n=\sum_{k=1}^K y_k$是固定的,我们可以假设观察的独立性,我们得到一个多项抽样过程

如果我们用$p_k$表示用$\sum_{k=1}^K p_k=$ 1观察到$k$第一类的概率,我们有$\mathrm{E}\left(Y_k\right)=m_k=n p_k$。样本的可能性可以写成:
$$
L=\frac{n !}{\prod_{k=1}^K y_{k} !} \prod_{k=1}^K\left(\frac{m_k}{n}\right)^{y_k} .
$$


在列联表中,类别由几个定性变量定义。例如,在$\left(J \times K\right.$)双向表中,为行$j$和列$k$报告观察(计数)$y_{j k}, j=1, \ldots, J$和$k=1, \ldots, K$。这里$n=\sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K y_{j k}$。对数线性模型在期望频率$m_{j k}=\mathrm{E}\left(y_{j k}\right)=n p_{j k}$的对数上引入了一个线性结构,其中$\sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K p_{j k}=1$。$m_{j k}$上的对数线性结构将对$p_{j k}$施加相同的结构,然后通过约束极大似然得到模型的估计。三向表$(J \times K \times L)$可以用同样的方法进行分析


有时可获得解释性变量$x$的附加信息。在这种情况下,当分类响应是二进制($K=2$)时,logit模型将是合适的。当感兴趣的主要响应是二进制时(对于实例表$(2 \times K)$或$(2 \times K \times L)$),我们将引入这些模型。此外,我们将展示如何使它们适应列联表的情况。在$15 .$ 章节中,还使用多元描述工具分析了列联表

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