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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Boston Housing
Returning to the Boston Housing data set, we are now in a position to test if the means of the variables vary according to their location, for example, when they are located in a district with high valued houses. In Chap. 1, we built two groups of observations according to the value of $X_{14}$ being less than or equal to the median of $X_{14}$ (a group of 256 districts) and greater than the median (a group of 250 districts).
In what follows, we use the transformed variables motivated in Sect. $1.9$.
Testing the equality of the means from the two groups was proposed in a multivariate setup, so we restrict the analysis to the variables $X_1, X_5, X_8, X_{11}$, and $X_{13}$ to see if the differences between the two groups that were identified in Chap. 1 can be confirmed by a formal test. As in Test Problem 8, the hypothesis to be tested is
$$
H_0: \mu_1=\mu_2 \text {, where } \mu_1 \in \mathbb{R}^5, n_1=256 \text {, and } n_2=250 .
$$
$\Sigma$ is not known. The $F$-statistic given in (7.13) is equal to $126.30$, which is much higher than the critical value $F_{0.95 ; 5,500}=2.23$. Therefore, we reject the hypothesis of equal means.
To see which component, $X_1, X_5, X_8, X_{11}$, or $X_{13}$, is responsible for this rejection, take a look at the simultaneous confidence intervals defined in (7.14):
$$
\begin{aligned}
&\delta_1 \in(1.4020, \quad 2.5499) \
&\delta_5 \in(0.1315, \quad 0.2383) \
&\delta_8 \in(-0.5344,-0.2222) \
&\delta_{11} \in(1.0375,1.7384) \
&\delta_{13} \in(1.1577, \quad 1.5818)
\end{aligned}
$$
These confidence intervals confirm that all of the $\delta_j$ are significantly different from zero (note there is a negative effect for $X_8$ : weighted distances to employment centers) Q MVAsimeibh.
We could also check if the factor “being bounded by the river” (variable $X_4$ ) has some effect on the other variables. To do this compare the means of $\left(X_5, X_8, X_9, X_{12}, X_{13}, X_{14}\right)^{\top}$. There are two groups: $n_1=35$ districts bounded by the river and $n_2=471$ districts not bounded by the river. Test Problem 8 $\left(H_0: \mu_1=\mu_2\right.$ ) is applied again with $p=6$. The resulting test statistic, $F=5.81$, is highly significant $\left(F_{0.95 ; 6,499}=2.12\right)$. The simultaneous confidence intervals indicate that only $X_{14}$ (the value of the houses) is responsible for the hypothesis being rejected.
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Regression Models
The aim of regression models is to model the variation of a quantitative response variable $y$ in terms of the variation of one or several explanatory variables $\left(x_1, \ldots, x_p\right)^{\top}$. We have already introduced such models in Chaps. 3 and 7 where linear models were written in (3.50) as
$$
y=\mathcal{X} \beta+\varepsilon,
$$
where $y(n \times 1)$ is the vector of observation for the response variable, $\mathcal{X}(n \times p)$ is the data matrix of the $p$ explanatory variables and $\varepsilon$ are the errors. Linear models are not restricted to handle only linear relationships between $y$ and $x$. Curvature is allowed by including appropriate higher order terms in the design matrix $\mathcal{X}$.
Example $8.1$ If $y$ represents response and $x_1, x_2$ are two factors that explain the variation of $y$ via the quadratic response model:
$$
y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}+\beta_3 x_{i 1}^2+\beta_4 x_{i 2}^2+\beta_5 x_{i 1} x_{i 2}+\varepsilon_i, i=1, \ldots, n .
$$
This model (8.1) belongs to the class of linear models because it is linear in $\beta$. The data matrix $\mathcal{X}$ is:
$$
\mathcal{X}=\left(\begin{array}{cccccc}
1 & x_{11} & x_{12} & x_{11}^2 & x_{12}^2 & x_{11} x_{12} \
1 & x_{21} & x_{22} & x_{21}^2 & x_{22}^2 & x_{21} x_{22} \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \
1 & x_{n 1} & x_{n 2} & x_{n 1}^2 & x_{n 2}^2 & x_{n 1} x_{n 2}
\end{array}\right)
$$
For a given value of $\beta$, the response surface can be represented in a threedimensional plot as in Fig. $8.1$ where we display $y=20+1 x_1+2 x_2-8 x_1^2-$ $6 x_2^2+6 x_1 x_2$, i.e. $\beta=(20,1,2,-8,-6,+6)^{\top}$.
统计代写|多元统计分析代写多元统计分析代考|波士顿住房
回到波士顿住房数据集，我们现在可以测试变量的均值是否根据其位置而变化，例如，当它们位于一个有高价值房屋的地区时。在第一章中，我们根据$X_{14}$的值小于或等于$X_{14}$的中位数(256个区)和大于中位数(250个区)建立了两组观察值。
在接下来的内容中，我们使用了在章节$1.9$中被激励的转换变量。
测试来自两组的平均数的相等性是在多变量设置中提出的，因此我们将分析限制在变量$X_1, X_5, X_8, X_{11}$和$X_{13}$上，以查看在第1章中识别的两组之间的差异是否可以通过正式测试确认。和测试问题8一样，要测试的假设是
$$
H_0: \mu_1=\mu_2 \text {, where } \mu_1 \in \mathbb{R}^5, n_1=256 \text {, and } n_2=250 .
$$
$\Sigma$不知道。(7.13)中给出的$F$ -statistic等于$126.30$，它比临界值$F_{0.95 ; 5,500}=2.23$高得多。因此，我们拒绝等均值假设。
要了解哪个组件，$X_1, X_5, X_8, X_{11}$，或$X_{13}$，对这种拒绝负责，看一下(7.14)中定义的同步置信区间:
$$
\begin{aligned}
&\delta_1 \in(1.4020, \quad 2.5499) \
&\delta_5 \in(0.1315, \quad 0.2383) \
&\delta_8 \in(-0.5344,-0.2222) \
&\delta_{11} \in(1.0375,1.7384) \
&\delta_{13} \in(1.1577, \quad 1.5818)
\end{aligned}
$$
这些置信区间确认所有$\delta_j$都显著不同于零(注意$X_8$:到就业中心的加权距离有一个负面影响)Q MVAsimeibh 我们还可以检查因素“被河流包围”(变量$X_4$)是否对其他变量有影响。要做到这一点，请比较$\left(X_5, X_8, X_9, X_{12}, X_{13}, X_{14}\right)^{\top}$的方法。有两组:$n_1=35$以河为界的地区和$n_2=471$以河为界的地区。测试问题8 $\left(H_0: \mu_1=\mu_2\right.$)再次应用$p=6$。得到的测试统计信息$F=5.81$是非常重要的$\left(F_{0.95 ; 6,499}=2.12\right)$。同时的置信区间表明，只有$X_{14}$(房子的价值)是导致假设被拒绝的原因。
统计代写|多元统计分析代写多元统计分析代考|回归模型
回归模型的目的是根据一个或几个解释变量$\left(x_1, \ldots, x_p\right)^{\top}$的变化对定量响应变量$y$的变化进行建模。我们已经在第3章和第7章中介绍了这样的模型，其中线性模型用(3.50)写为
$$
y=\mathcal{X} \beta+\varepsilon,
$$
，其中$y(n \times 1)$是响应变量的观察向量，$\mathcal{X}(n \times p)$是$p$解释变量的数据矩阵，$\varepsilon$是误差。线性模型并不局限于处理$y$和$x$之间的线性关系。通过在设计矩阵$\mathcal{X}$中包含适当的高阶项，允许曲率。
示例 $8.1$ 如果 $y$ 表示响应和 $x_1, x_2$ 是否有两个因素可以解释 $y$ 通过二次响应模型:
$$
y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}+\beta_3 x_{i 1}^2+\beta_4 x_{i 2}^2+\beta_5 x_{i 1} x_{i 2}+\varepsilon_i, i=1, \ldots, n .
$$这个模型(8.1)属于线性模型的类别，因为它是线性的 $\beta$。数据矩阵 $\mathcal{X}$
$$
\mathcal{X}=\left(\begin{array}{cccccc}
1 & x_{11} & x_{12} & x_{11}^2 & x_{12}^2 & x_{11} x_{12} \
1 & x_{21} & x_{22} & x_{21}^2 & x_{22}^2 & x_{21} x_{22} \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \
1 & x_{n 1} & x_{n 2} & x_{n 1}^2 & x_{n 2}^2 & x_{n 1} x_{n 2}
\end{array}\right)
$$的给定值 $\beta$时，响应面可以用如图所示的三维图表示。 $8.1$ 我们展示的地方 $y=20+1 x_1+2 x_2-8 x_1^2-$ $6 x_2^2+6 x_1 x_2$，即。 $\beta=(20,1,2,-8,-6,+6)^{\top}$.
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