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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Elastic moduli
We have so far introduced four different elastic parameters, namely the Young modulus, the Poisson ratio and the two Lamé coefficients. We previously introduced also the bulk modulus $B$ when we investigated thermal expansion in section 4.2.1. Since $B$ was defined as the inverse of the isothermal compressibility (see appendix $C$ ), that is it deals with volume variations, it is expected to be related to some elastic parameter. In order to elucidate this issue, let us consider a hydrostatic stress $T_{i j}=P \delta_{i j}$ (where $P$ is the macroscopic hydrostatic pressure) and insert it into the constitutive equation (5.39) so as to get
$$
\left.\mathbb{S}=\frac{1}{3} \frac{1}{\lambda+\frac{2}{3} \mu} P\right]
$$
The connection with equation (C.11) is established by defining
$$
B=\lambda+\frac{2}{3} \mu,
$$
so that
$$
\left.\mathbb{S}=\frac{1}{3 B} P\right] \quad \rightarrow \quad \operatorname{Tr}(\mathbb{S})=\sum_i \epsilon_{i t}=\frac{\Delta V}{V}=\frac{P}{B}
$$
which leads to the following definition
$$
\frac{1}{B}=\frac{1}{V} \frac{\Delta V}{P}
$$
representing the finite difference counterpart of equation (C.11). This result reconciles the thermodynamical and elastic treatment of deformations affecting the system volume and it allows us to recast the stress-strain relation of a homogeneous and isotropic linear elastic medium in the form
$\mathbb{T}=2 \mu \mathbb{S}+\left(B-\frac{2}{3} \mu\right) \operatorname{Tr}(\mathbb{S}) \rrbracket$
$\left.=3 B\left[\frac{1}{3} \operatorname{Tr}(\mathbb{S}) \rrbracket\right]+2 \mu\left[\mathbb{S}-\frac{1}{3} \operatorname{Tr}(\mathbb{S})\right]\right]$,
where the first and second term on the right-hand side are, respectively, named spherical part and deviatoric part of the stress tensor: they describe the hydrostatic volume variation and the change in shape of the solid body subject to $\mathbb{I}$.
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Thermoelasticity
We have so far implicitly assumed that the deformations are imposed to the system at zero temperature. While this assumption was useful to define a clean purely-elastic problem, we must duly generalise our theory to include stress actions applied at $T>0 \mathrm{~K}$ as well [6].
The starting point is of course the energy balance stated by the first law of thermodynamics (see equation (C.5)) which for a system with volume $V$ in equilibrium at temperature $T$ under some elastic action is written as
$$
d \mathcal{U}=V \sum_{i j} T_{i j} d \epsilon_{i j}+T d S,
$$
where the mechanical work contributing to the internal energy $\mathcal{U}$ has been written in terms of the stress tensor since we know that this latter describes any possible kind of volume and shape variation of the system. It is easy to reconcile equation (5.47) with the standard thermodynamical formulation by simply considering the case of a hydrostatic stress $T_{i j}=-P \delta_{i j}$, where $P$ is the applied pressure whose negative sign indicates that the mechanical action is compressive. We assume it to operate quasistatically, like anywhere else in the remaining of this chapter. By inserting the hydrostatic stress into equation (5.47) we get
$$
\begin{aligned}
d \mathcal{U} &=V \sum_{i j}\left(-P \delta_{i j}\right) d \epsilon_{i j}+T d S \
&=-P V \sum_i d \epsilon_{i i}+T d S \
&=-P V \frac{d V}{V}+T d S \
&=-P d V+T d S
\end{aligned}
$$
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Elastic moduli
到目前为止，我们已经介绍了四种不同的弹性参数，即杨氏模量、泊松比和两个拉梅系数。我们之前还介 绍了体积模量 $B$ 当我们在 4.2.1 节研究热膨胀时。自从 $B$ 被定义为等温压缩率的倒数（见附录 $C$ )，即处理 体积变化，预计与一些弹性参数有关。为了阐明这个问题，让我们考虑静水压力 $T_{i j}=P \delta_{i j}$ (在哪里 $P$ 为 宏观静水压力），代入本构方程 (5.39)，得
$$
\left.\mathbb{S}=\frac{1}{3} \frac{1}{\lambda+\frac{2}{3} \mu} P\right]
$$
通过定义建立与等式 (C.11) 的连接
$$
B=\lambda+\frac{2}{3} \mu,
$$
以便
$$
\left.\mathbb{S}=\frac{1}{3 B} P\right] \quad \rightarrow \quad \operatorname{Tr}(\mathbb{S})=\sum_i \epsilon_{i t}=\frac{\Delta V}{V}=\frac{P}{B}
$$
这导致以下定义
$$
\frac{1}{B}=\frac{1}{V} \frac{\Delta V}{P}
$$
表示方程 (C.11) 的有限差分对应物。该结果调和了影响系统体积的变形的热力学和弹性处理，它允许我 们将均匀和各向同性线弹性介质的应力-应变关系重铸为形式 $\mathrm{T}=2 \mu \mathbb{S}+\left(B-\frac{2}{3} \mu\right) \operatorname{Tr}(\mathbb{S}) \backslash$ rrbracket $=3 B\left[\frac{1}{3} \operatorname{Tr}(\mathbb{S}) \backslash\right.$ rrbracket $\left.]+2 \mu\left[\mathbb{S}-\frac{1}{3} \operatorname{Tr}(\mathbb{S})\right]\right]$,
其中右侧第一项和第二项分别命名为应力张量的球面部分和偏量部分：它们描述了流体静力体积变化和受 制于固体形状的变化吕.
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Thermoelasticity
到目前为止，我们已经隐含地假设在零温度下对系统施加了变形。虽然这个假设对于定义一个干净的纯弹 性问题很有用，但我们必须适当地概括我们的理论，以包括施加在 $T>0 \mathrm{~K}$ 以及[6]。
出发点当然是热力学第一定律 (见方程 (C.5) ) 规定的能量平衡，对于有体积的系统来说 $V$ 在温度平衡 $T$ 在一些弹性作用下写为
$$
d \mathcal{U}=V \sum_{i j} T_{i j} d \epsilon_{i j}+T d S,
$$
其中机械功有助于内能 $\mathcal{U}$ 因为我们知道后者描述了系统的任何可能类型的体积和形状变化，所以已经根据 应力张量写了。通过简单地考虑静水应力的情况，很容易使方程 (5.47) 与标准热力学公式相协调 $T_{i j}=-P \delta_{i j}$ ，在哪里 $P$ 是施加的压力，其负号表示机械作用是压缩的。我们假设它是准静态的，就像本 章剩下的任何地方一样。通过将静水应力代入方程 (5.47)，我们得到
$$
d \mathcal{U}=V \sum_{i j}\left(-P \delta_{i j}\right) d \epsilon_{i j}+T d S \quad=-P V \sum_i d \epsilon_{i i}+T d S=-P V \frac{d V}{V}+T d S \quad=-P d V+T d S
$$
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