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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The constitutive equation

So far we have prepared the formal environment to describe force actions and corresponding deformations. The next point is to look for the mathematical relationship linking the strain and stress tensors, which is usually referred to as the constitutive equation of elasticity.

In this regard, it must be preliminarily observed that elasticity theory is unable to provide this relationship which, instead, must be assumed ‘a priori’ of the problem we aim at investigating. Accordingly, any result of continuum elasticity will specifically depend on the adopted constitutive equation. This is the level at which the atomistic theory plays a major role since it provides the needed fundamental knowledge. In fact, once assigned the most appropriate model for the lattice many-body potential energy $U=U(\mathbf{R})$ governing the ion displacements (see sections 1.3.4 and 3.1), the constitutive stress-strain relationship is there contained, even if not always immediately apparent.

Consistently with the hypothesis of small deformations, we guess that they are linearly dependent on their causing action ${ }^7$ and formally write
$$
T_{i j}=\sum_{k h} C_{i j k h} \epsilon_{k h}
$$

which can be simply looked at as the most general form of the Hooke law. By this linear elastic constitutive equation we introduce the fourth rank elastic tensor $C_{i j k h}$. In general, among its $3^4=81$ components only 21 are independent as determined by the symmetric character of the strain and stress tensor which imposes
$$
C_{i j k h}=C_{j i k h} \quad C_{i j k h}=C_{i j h k}
$$
Another symmetry is imposed by the guessed constitutive equation (5.18) which in fact represents the macroscopic counterpart of the harmonic crystal model developed in chapter 3. Therefore, by analogy with equation (3.4) we can surely state that there exists a formal dependence of the elastic energy density $u=u\left(\epsilon_{i j}\right)$ on the strain tensor which, within the adopted constitutive model, is cast in the harmonic form
$$
u=\frac{1}{2} \sum_{i j k h} C_{i j k h} \epsilon_{i j} \epsilon_{k h}
$$

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Elasticity of homogeneous and isotropic media

We are now going to investigate the elasticity of a homogeneous and isotropic solid, that is a system where (i) the elastic constants are just the same everywhere and (ii) its elastic response is just the same along any direction. More formally, homogeneity and isotropicity are found whenever the elastic tensor is invariant upon translations and rotations. Although these features define a somewhat idealised situation, this case study is paradigmatically important and leads to very general results which, in fact, can be widely applied in practice.

By choosing a frame of reference where the stress tensor is diagonal (see section 5.1.3) and considering a uniaxial traction along the $x_1$ axis, it is empirically found that the system response is twofold: (i) it stretches along the $x_1$ direction and (ii) it shrinks in the $\left(x_2, x_3\right)$ plane. Since the only non-zero stress component is $T_{11}^$, we can formalise the observed phenomenology by defining the following strain tensor $$ \epsilon_{11}^=+\frac{1}{E} T_{11}^* \quad \epsilon_{22}^=-\frac{\nu}{E} T_{11}^ \quad \epsilon_{33}^=-\frac{\nu}{E} T_{11}^ \quad \epsilon_{12}^=\epsilon_{23}^=\epsilon_{31}^*=0,
$$
where the two $E$ and $\nu$ constants are introduced in the proposed combination for further convenience. It is important to remark that just two constants are in fact needed to fully accomplish with this elastic problem since we must only describe the observed material stretching along $x_1$ and its corresponding shrinking in a normal plane. We summarise the physical situation by saying that a homogeneous and isotropic linear elastic medium has only two independent elastic moduli, namely $E$ and $\nu$ which are known as the Young modulus and the Poisson ratio, respectively. In table 5.2 we report their value for some elemental crystalline system.

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The constitutive equation

到目前为止，我们已经准备好描述力作用和相应变形的正式环境。下一点是寻找连接应变和应力张量的数 学关系，这通常被称为弹性本构方程。
在这方面，必须初步观察到弹性理论无法提供这种关系，相反，必须假定我们旨在研究的问题是“先验 的”。因此，任何连续弹性的结果都将具体取决于所采用的本构方程。这是原子论发挥主要作用的层次，因 为它提供了所需的基础知识。事实上，一旦为晶格多体势能分配了最合适的模型 $U=U(\mathbf{R})$ 控制离子位移 (见第 $1.3 .4$ 和 $3.1$ 节) ，本构应力-应变关系是包含的，即使并不总是很明显。
与小变形的假设一致，我们猜测它们线性依赖于它们的引起作用 ${ }^7$ 并正式写
$$
T_{i j}=\sum_{k h} C_{i j k h} \epsilon_{k h}
$$
可以简单地将其视为胡克定律的最一般形式。通过这个线性弹性本构方程，我们引入了四阶弹性张量 $C_{i j k h}$. 一般来说，在其 $3^4=81$ 只有 21 个分量是独立的，由施加的应变和应力张量的对称特征决定
$$
C_{i j k h}=C_{j i k h} \quad C_{i j k h}=C_{i j h k}
$$
另一个对称性是由猜测的本构方程 (5.18) 强加的，它实际上代表了第 3 章中提出的谐波晶体模型的宏观 对应物。因此，通过类比方程（3.4)，我们可以肯定地说存在弹性能量密度 $u=u\left(\epsilon_{i j}\right)$ 在应变张量上， 在所采用的本构模型中，以调和形式铸造
$$
u=\frac{1}{2} \sum_{i j k h} C_{i j k h} \epsilon_{i j} \epsilon_{k h}
$$

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Elasticity of homogeneous and isotropic media

我们现在将研究均匀和各向同性固体的弹性，这是一个系统，其中 (i) 弹性常数在任何地方都相同，并且
(ii) 它的弹性响应在任何方向上都是相同的。更正式地说，只要弹性张量在平移和旋转时不变，就会发现同 质性和各向同性。尽管这些特征定义了一个有点理想化的情况，但这个案例研究在范式上很重要，并产生 了非常普遍的结果，事实上，可以在实践中广泛应用。
通过选择应力张量为对角线的参考系 (参见第 $5.1 .3$ 节) 并考虑沿 $x_1$ 轴，根据经验发现系统响应是双重 的：(i) 它沿着 $x_1$ 方向和 (ii) 它在 $\left(x_2, x_3\right)$ 飞机。因为唯一的非零应力分量是 $T_{-}{11}^{\wedge}$ ，我们可以通过定义 以下应变张量来形式化观察到的现象学
$$
\epsilon_{11}^{\overline{=}}+\frac{1}{E} T_{11}^* \quad \epsilon_{22}^{=}-\frac{\nu}{E} T_{11} \epsilon_{33}^{\overline{=}}-\frac{\nu}{E} T_{11} \quad \epsilon_{12}^{=} \epsilon_{23}^{=} \epsilon_{31}^*=0
$$
两个在哪里 $E$ 和 $\nu$ 为了进一步方便，在建议的组合中引入了常数。值得注意的是，实际上只需要两个常数 就可以完全解决这个弹性问题，因为我们必须只描述观察到的材料沿 $x_1$ 及其在法向平面内的相应收缩。我 们将物理情况总结为: 均质且各向同性的线弹性介质只有两个独立的弹性模量，即 $E$ 和 $\nu$ 分别称为杨氏模 量和泊松比。在表 $5.2$ 中，我们报告了它们对某些元责晶体系统的值。

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