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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The conceptual framework

In developing an atomistic and quantum picture of the solid state we had to admit that it is necessary to adopt approximations, even very drastic ones as thoroughly reported in section 1.3. As far as electrons are concerned, this has led to equation (1.15) which defines the constitutive eigenvalue problem for the total crystalline electron wavefunction ${ }^1 \Psi_{\mathrm{e}}^{(\mathbf{R})}(\mathbf{r})$ : by solving it, we ultimately define the electronic structure of the crystal.

Despite the remarkable number of adopted simplifications already introduced ${ }^2$, equation (1.15) still represents a formidably complicated many-body quantum problem. The search for general methods able to solve it, either analytically or numerically, represents an advanced topic in theoretical condensed matter physics, ranging from single-particle theories to many-body formalisms to quantum field theories [1-6]. These methods are currently the topic of active research and mostly fall well beyond the level (and the scope) of this introductory textbook. In our attempt to elaborate a more elementary theory we will follow a simplified approach, which basically consists in two logical steps: first, we will root our theory in the single-particle approximation; second, we will take profit from some materials-specific characteristics so as to further reduce the mathematical complexity of the physical problem.

The first step was already introduced in section 1.4.1: electron-ion and electronelectron interactions are replaced by the crystal field potential $V_{\mathrm{cfp}}(\mathbf{r})$, namely a local one-electron potential with the same periodicity of the underlying crystal lattice and effectively describing the most relevant many-body features. Hereafter, we will assume that such a potential is known, for instance through a self-consistent calculation, as outlined in section 1.4.1. Its practical implementation is an advanced topic of computational solid state theory [1-3].

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The Fermi–Dirac distribution function

Let us consider a gas of $N$ electrons, confined within a volume $V$ in equilibrium at temperature $T$. Quantum mechanics provides the energy spectrum of this system, as we will extensively discuss in chapters 7 and 8 ; we label by $E_i$ with $i=1,2,3, \ldots$ the energies of the single-electron levels ${ }^8$. Hereafter in this section we assume that such energies are known and ask ourselves how likely each level is to be occupied.

Let us assume that two energy levels $E_1$ e $E_2$ are occupied with probability $n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)$ and $n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)$, respectively. Since the system is in equilibrium, on average the number of electrons undergoing the transition $E_1 \rightarrow E_2$ in the unit time equals the number of electrons undergoing the inverse transition $E_2 \rightarrow E_1$. This statement represents a specific formulation of the more general principle of microreversibility ${ }^9$. Such transitions could be generated by any kind of mechanism, like electron-electron or electron-defect scattering.

The number of electrons undergoing the transition $E_1 \rightarrow E_2$ per unit time is calculated as the product between the number of electrons initially occupying the level $E_1$ and the rate $R_{1 \rightarrow 2}$ of occurrence of such transition. The initial number of electrons is in turn given by the product between the total number of particles $N$ and the probability that the initial energy level is occupied. Similar definitions hold for the inverse transition. If electrons were classical particles, the occupation probability of any given level with energy $E$ would be proportional to the Boltzmann factor $\exp \left(-E / k_{\mathrm{B}} T\right)[11]$ and, therefore, we could write the classical version of microreversibility as
$$
\exp \left(-E_1 / k_{\mathrm{B}} T\right) R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}=\exp \left(-E_2 / k_{\mathrm{B}} T\right) R_{2 \rightarrow 1}^{\text {classical }},
$$
where $R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}$ and $R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}$ are the transition rates calculated according to classical physics. Since, however, electrons are identical and indistinguishable quantum particles they must obey the Pauli principle (see appendix E): two electrons cannot have the same set of quantum numbers. This suggests the most general way to switch from classical to quantum transition rates
$$
R_{1 \rightarrow 2}^{\text {quantum }}=R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}\left[1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)\right] \text { and } R_{2 \rightarrow 1}^{\text {quantum }}=R_{2 \rightarrow 1}^{\text {classical }}\left[1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)\right],(6.2)
$$
where the terms in square parenthesis $[\cdots]$ define the probability that the final state is not previously occupied. Quantum microreversibility is straightforwardly cast in the form
$$
n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right) R_{1 \rightarrow 2}^{\text {quantum }}=n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right) R_{2 \rightarrow 1}^{\text {quantum }},
$$
which, by inserting equation (6.1), leads to
$$
\frac{R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}}{R_{2 \rightarrow 1}^{\text {cassical }}}=\frac{\exp \left(-E_2 / k_{\mathrm{B}} T\right)}{\exp \left(-E_1 / k_{\mathrm{B}} T\right)}=\frac{n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)}{n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)} \frac{1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)}{1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)},
$$
or equivalently
$$
\frac{1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)}{n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)} \exp \left(-E_1 / k_{\mathrm{B}} T\right)=\frac{1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)}{n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)} \exp \left(-E_2 / k_{\mathrm{B}} T\right)
$$

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|KYA322

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The conceptual framework

在开发固态的原子和量子图像时,我们不得不承认有必要采用近似值,即使是在 1.3 节中详细报道的非常极端的近似值。就电子而言,这导致方程(1.15)定义了总晶体电子波函数的本构特征值问题1附言和(R)(r):通过解决它,我们最终定义了晶体的电子结构。

尽管已经引入了大量采用的简化2, 方程 (1.15) 仍然代表了一个极其复杂的多体量子问题。从单粒子理论到多体形式再到量子场论 [1-6],寻找能够以分析或数值方式解决它的通用方法代表了理论凝聚态物理中的一个高级主题。这些方法目前是积极研究的主题,并且大部分都远远超出了这本入门教科书的水平(和范围)。在我们试图阐述一个更基本的理论时,我们将采用一种简化的方法,它基本上包括两个逻辑步骤:首先,我们将把我们的理论植根于单粒子近似;其次,我们将利用一些材料特有的特性来进一步降低物理问题的数学复杂性。

第一步已经在 1.4.1 节中介绍过:电子-离子和电子电子相互作用被晶体场势取代在CFp(r),即具有与底层晶格相同周期性的局部单电子势,并有效地描述了最相关的多体特征。此后,我们将假设这种势是已知的,例如通过自洽计算,如第 1.4.1 节所述。它的实际实现是计算固态理论的一个高级课题[1-3]。

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The Fermi–Dirac distribution function

让我们考虑一种气体 $N$ 电子,限制在一个体积内 $V$ 在温度平衡 $T$. 量子力学提供了这个系统的能谱,我们将 在第 7 章和第 8 章广泛讨论:我们标记为 $E_i$ 和 $i=1,2,3, \ldots$ 单电子能级的能量 ${ }^8$. 此后在本节中,我们假 设这些能量是已知的,并问自己每个级别被占用的可能性有多大。
让我们假设两个能级 $E_1$ 和 $E_2$ 被概率占据 $n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)$ 和 $n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)$ ,分别。由于系统处于平衡状态, 平均而言,经历跃迁的电子数 $E_1 \rightarrow E_2$ 在单位时间内等于经历逆跃迁的电子数 $E_2 \rightarrow E_1$. 该陈述代表了 更一般的微可逆性原理的具体表述 ${ }^9$. 这种跃迁可以通过任何一种机制产生,例如电子-电子或电子缺陷散 射。
经历跃迁的电子数 $E_1 \rightarrow E_2$ 每单位时间计算为最初占据能级的电子数之间的乘积 $E_1$ 和费率 $R_{1 \rightarrow 2}$ 这种转 变的发生。初始电子数依次由粒子总数之间的乘积给出 $N$ 以及初始能级被占据的概率。类似的定义也适用 于逆转换。如果电子是经典粒子,任何给定能级的占有概率 $E$ 将与玻尔兹曼因子成正比 $\exp \left(-E / k_{\mathrm{B}} T\right)[11]$ 因此,我们可以将经典版本的微可逆性写为
$$
\exp \left(-E_1 / k_{\mathrm{B}} T\right) R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}=\exp \left(-E_2 / k_{\mathrm{B}} T\right) R_{2 \rightarrow 1}^{\text {classical }}
$$
在哪里 $R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}$ 和 $R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}$ 是根据经典物理学计算的跃迁率。然而,由于电子是相同且无法区分的量子粒 子,它们必须遵守泡利原理 (见附录 E) : 两个电子不能具有相同的一组量子数。这表明了从经典跃迁速 率转换为量子跃迁速率的最通用方法
$$
R_{1 \rightarrow 2}^{\text {quantum }}=R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}\left[1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)\right] \text { and } R_{2 \rightarrow 1}^{\text {quantum }}=R_{2 \rightarrow 1}^{\text {classical }}\left[1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)\right],(6.2)
$$
其中,通过揷入等式 (6.1),导致
$$
\frac{R_{1 \rightarrow 2}^{\text {classical }}}{R_{2 \rightarrow 1}^{\text {cassical }}}=\frac{\exp \left(-E_2 / k_{\mathrm{B}} T\right)}{\exp \left(-E_1 / k_{\mathrm{B}} T\right)}=\frac{n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)}{n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)} \frac{1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)}{1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)},
$$
或等效地
$$
\frac{1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)}{n_{\mathrm{FD}}\left(E_1, T\right)} \exp \left(-E_1 / k_{\mathrm{B}} T\right)=\frac{1-n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)}{n_{\mathrm{FD}}\left(E_2, T\right)} \exp \left(-E_2 / k_{\mathrm{B}} T\right)
$$

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考

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