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物理代写|光学代写Optics代考|SCATTERING FROM DIRECTOR
From Eqs. (5.6) to (5.8), one can see that crucial parameters involved in light scattering are the wave vectors $\mathbf{k}i$ and $\mathbf{k}_f$, the scattering wave vector $\mathbf{q}$, the director axis orientation $\hat{n}$, and its fluctuations $\delta \mathbf{n}$ from its equilibrium $\hat{n}_0$. The problem of analyzing light scattering in nematic liquid crystals (NLCs) can be greatly simplified if the coordinate system is properly defined in terms of the initial orientation of the director axis $\hat{n}_0$ with respect to the scattering wave vector $\mathbf{q}$ [1]. We shall consider here the exemplary and most illustrative case of light scattering in NLC, where the director axis $\hat{n}$ points generally in one direction; fluctuations $\delta \mathbf{n}$ can thus be analyzed by simpler geometrical consideration, unlike other ordered phases such as Blue-phase liquid crystals with complicated director axis configurations and defect network. As shown in Figure 5.2, the director axis fluctuation is decomposed into two orthogonal components $\delta \mathbf{n}_1$ and $\delta \mathbf{n}{\mathbf{2}}$, along the unit vectors $\hat{e}_1$ and $\hat{e}_2$, respectively. Note that one of them, $\delta \mathbf{n}_1$ is in the plane defined by $\mathbf{q}$ and $\hat{n}_0$ (taken as $\hat{z}$ ), and the other, $\delta \mathbf{n}_2$ is perpendicular to the $q-z$ plane.
In this case, one can express $\delta \mathbf{n}1(\mathbf{r})$ and $\delta \mathbf{n}_2(\mathbf{r})$ in terms of their Fourier components as $$ \delta n{1,2}(\mathbf{r})=\sum_q n_{1,2}(\mathbf{q}) \exp (i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}) .
$$
where
$$
n_{1,2}(\mathbf{q})=\frac{1}{V} \int n_{1.2}(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}} d V .
$$
The total free energy associated with this director axis deformation is, from Eq. (3.6), given by
$$
\begin{aligned}
F_{\text {total }} &=\frac{1}{2} \int K_1\left(\frac{\partial n_1}{\partial x_1}+\frac{\partial n_2}{\partial x_2}\right)^2+K_2\left(\frac{\partial n_1}{\partial x_2}-\frac{\partial n_2}{\partial x_1}\right)^2 \
&+K_3\left[\left(\frac{\partial n_1}{\partial x_3}\right)^2+\left(\frac{\partial n_2}{\partial x_3}\right)^2\right] d V
\end{aligned}
$$
物理代写|光学代写Optics代考|LIGHT SCATTERING IN THE ISOTROPIC PHASE
In the isotropic phase, director axis orientations are random. The optical dielectric constant, a thermal average, therefore, becomes a scalar parameter. The fluctuations in $\varepsilon$, in this case, are due mainly to fluctuations in the density of the liquid caused by temperature fluctuations. As detailed in later chapters dealing with nonlinear optical responses of liquid crystals, fluctuations in the optical dielectric constant can also be due to laser-induced individual (birefringent) molecular reorientation, electrostriction, or electronic transitions among the molecular energy levels.
Denoting the average dielectric constant in the isotropic phase by $\varepsilon$ and denoting the local change in the volume by $u(r)$, the dielectric constant may be expressed as
$$
\begin{aligned}
\varepsilon &=\bar{\varepsilon}+\frac{d \varepsilon}{d V} u(\mathbf{r}) \
&=\bar{\varepsilon}+\varepsilon^{\prime} u(\mathbf{r})
\end{aligned}
$$
The compressional energy associated with the volume change is
$$
\begin{gathered}
F_u=\frac{1}{2} \int W|u(\mathbf{r})|^2 d V \
=\frac{V W}{2} \sum_q|u(\mathbf{q})|^2,
\end{gathered}
$$
where $u(\mathbf{q})$ is the Fourier transform of $u(\mathbf{r})$, in analogy to our previous analysis of $n(\mathbf{r})$ and $n(\mathbf{q})$, and $W$ is the isothermal compressibility. Applying the equipartition theorem, we get
$$
\left\langle|u(\mathbf{q})|^2\right\rangle=\frac{k_B T}{W V} .
$$
From Eq. (5.8) and noting that $\delta \varepsilon_{f i}(\mathbf{q}) \equiv \hat{f} \cdot \hat{i} \varepsilon^{\prime} u(\mathbf{q})$, the scattering amplitude $a_{f i}$ is given by
$$
\alpha_{f i}^2=\left(\frac{\omega^2}{c^2} V \hat{f} \cdot \hat{i} \varepsilon^{\prime}\right)^2|u(\mathbf{q})|^2
$$
物理代写|光学代写Optics代考|SCATTERING FROM DIRECTOR
从方程式。(5.6) 到（5.8)，可以看出光散射中涉及的关键参数是波矢量 $\mathbf{k} i$ 和 $\mathbf{k}f$ ，散射波向量 $\mathbf{q}$ 导向轴 ( NLC) 中的光散射分析问题 $\hat{n}_0$ 关于散射波矢量 $q[1]$ 。我们将在这里考虑 NLC 中光散射的示例性和最具说明 他有序相不同，例如具有筫杂导向轴配置和缺陷网络的蓝相液晶。如图 $5.2$ 所示，导向轴波动分解为两个 正交分量 $\delta \mathbf{n}_1$ 和 $\delta \mathbf{n} 2$, 沿单位向量 $\hat{e}_1$ 和 $\hat{e}_2$ ，分别。请注意，其中之一， $\delta \mathbf{n}_1$ 在定义的平面内 $\mathbf{q}$ 和 $\hat{n}_0($ 取为 $\hat{z}$ ），和另一个， $\delta \mathbf{n}_2$ 垂直于 $q-z 飞$ 机。 在这种情况下，可以表达 $\delta \mathbf{n} 1(\mathbf{r})$ 和 $\delta \mathbf{n}_2(\mathbf{r})$ 就他们的傅里叶分量而言 $$ \delta n 1,2(\mathbf{r})=\sum_q n{1,2}(\mathbf{q}) \exp (i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r})
$$
在哪里
$$
n_{1,2}(\mathbf{q})=\frac{1}{V} \int n_{1.2}(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}} d V
$$
与此导向轴变形相关的总自由能来自方程式。(3.6)，由
$$
F_{\text {total }}=\frac{1}{2} \int K_1\left(\frac{\partial n_1}{\partial x_1}+\frac{\partial n_2}{\partial x_2}\right)^2+K_2\left(\frac{\partial n_1}{\partial x_2}-\frac{\partial n_2}{\partial x_1}\right)^2+K_3\left[\left(\frac{\partial n_1}{\partial x_3}\right)^2+\left(\frac{\partial n_2}{\partial x_3}\right)^2\right] d V
$$
物理代写|光学代写Optics代考|LIGHT SCATTERING IN THE ISOTROPIC PHASE
在各向同性相中，导向轴方向是随机的。因此，光学介电常数，即热平均值，成为一个标量参数。中的波 动 $\varepsilon_1$ ，在这种情况下，主要是由于温度波动引起的液体密度波动。正如后面处理液晶非线性光学响应的章 节中所详述的，光学介电常数的波动也可能是由于激光诱导的单个 (双折射) 分子重新取向、电致伸缩或 分子能级之间的电子跃迁。
用下式表示各向同性相中的平均介电常数 $\varepsilon$ 并表示体积的局部变化 $u(r)$ ，介电常数可以表示为
$$
\varepsilon=\bar{\varepsilon}+\frac{d \varepsilon}{d V} u(\mathbf{r}) \quad=\bar{\varepsilon}+\varepsilon^{\prime} u(\mathbf{r})
$$
与体积变化相关的压缩能是
$$
F_u=\frac{1}{2} \int W|u(\mathbf{r})|^2 d V=\frac{V W}{2} \sum_q|u(\mathbf{q})|^2,
$$
在哪里 $u(\mathbf{q})$ 是傅里叶变换 $u(\mathbf{r})$ ，类似于我们之前的分析 $n(\mathbf{r})$ 和 $n(\mathbf{q})$ ，和 $W$ 是等温压缩率。应用均分定 理，我们得到
$$
\left\langle|u(\mathbf{q})|^2\right\rangle=\frac{k_B T}{W V} .
$$
从方程式。(5.8) 并注意到 $\delta \varepsilon_{f i}(\mathbf{q}) \equiv \hat{f} \cdot \hat{i} \varepsilon^{\prime} u\left(\mathbf{q}\right.$ )，散射幅度 $a_{f i}$ 是 (谁) 给的
$$
\alpha_{f i}^2=\left(\frac{\omega^2}{c^2} V \hat{f} \cdot \hat{i} \varepsilon^{\prime}\right)^2|u(\mathbf{q})|^2
$$
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