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物理代写|光学代写Optics代考|Smectic-C – Smectic-A Phase Transition
The principal parameter that distinguishes smectic- $\mathrm{C}^$ from smectic-A is the tilt angle $\theta_0$. Because of the chiral character of the molecule, the tilt processes around the normal to the smectic layers, together with the transverse electric polarization $\vec{P}$ (cf. Figure 4.21). In the theories developed for describing phase transition from smectic-C to smectic-A phase, the tilt angle is treated as a primary order parameter of the system, very much as the director axis $\hat{n}$ in the nematic or cholesteric phase, while $\vec{P}$ is regarded as a secondary one.
Writing the two components of $\vec{P}$ and the tilt angle in the $x-y$ plane as $\vec{P}=\left(P_x, P_y\right)$ and $\left.\theta=\left(\theta_1, \theta_2\right)\right)$, the free-energy density $f_0(z)$ of the system can be expressed as a Landau type of expansion in terms of $\theta_1, \theta_2, P_x$, and $P_y$, in the following form $[48,49]$ :
$$
\begin{aligned}
f_0(z) &=\frac{1}{2} A\left(\theta_1^2+\theta_2^2\right)+\frac{1}{4} B\left(\theta_1^2+\theta_2^2\right)^2 \
&-\Lambda\left(\theta_1 \frac{d \theta_2}{d z}-\theta_2 \frac{d \theta_1}{d z}\right)+\frac{1}{2} K_3\left[\left(\frac{d \theta_1}{d z}\right)^2+\left(\frac{d \theta_2}{d z}\right)^2\right] \
&+\frac{1}{2 \varepsilon}\left(P_x^2+P_y^2\right)-\mu\left(P_x \frac{d \theta_1}{d z}+P_y \frac{d \theta_2}{d z}\right)+C\left(P_x \theta_2-P_y \theta_1\right) .
\end{aligned}
$$
In this expression, only the coefficient of the term quadratic in the primary parameter is temperature dependent, whereas the coefficient of the $P^2$ term is constant; this is so because it is not the interaction between the electric polarization that leads to a phase transition. The coefficient $A$ is of the form $A=A_0\left(T-T_{C A}\right)$, where $T_{C A}$ is the smectic-C-smectic-A transition temperature, $K_3$ is the elastic constant, and $\Lambda$ is the coefficient of the so-called Lifshitz term responsible for the helicoidal structure. $\mu$ and $C$ are the coefficients of the flexoelectric and piezoelectric bilinear couplings between the tilt and the polarization.
物理代写|光学代写Optics代考|ELECTROMAGNETIC FORMALISM
Scattering of light in a medium is caused by fluctuations of the optical dielectric constants $\delta \varepsilon(\vec{r}, t)$. In isotropic liquids, $\delta \varepsilon(\vec{r}, t)$ is mainly due to density fluctuations that are usually caused by temperature fluctuations but could also be due to some other mechanisms such as electrostriction and molecular reorientation (see Chapters 8 and 9). In the ordered phases of liquid crystals, an additional and important contribution to $\delta \varepsilon(\vec{r}, t)$ arises from fluctuations of the (birefringent) crystalline axis, lattice deformation, and flows.
These fluctuations or changes in the optical dielectric constant affect the spatial $(\boldsymbol{k})$ and temporal $(\omega)$ frequencies as well as the polarization state of the incident light. The direction, polarization, and spectrum of the scattered light are governed by the optical-liquid crystal interaction geometry.
In a uniaxial birefringent medium such as a liquid crystal, the dielectric constant tensor may be written as
$$
\varepsilon_{\alpha \beta}=\varepsilon_{\perp} \delta_{\alpha \beta}+\left(\varepsilon_{|}-\varepsilon_{\perp}\right) n_\alpha n_\beta,
$$
where $n_\alpha$ and $n_\beta$ are the components of a unit vector $\hat{n}$ (the director axis). Fluctuations in $\varepsilon_{\alpha \beta}$ come from changes in $\varepsilon_{\perp}$ and $\varepsilon_{/ /}$due to density and temperature fluctuations and from fluctuations in $\hat{n}[1]$.
物理代写|光学代写Optics代考|Smectic-C – Smectic-A Phase Transition
区分近晶型的主要参数 $\left[\right.$ 数学 ${\mathrm{C}}^{\wedge}$ 来自 smectic-A 是倾斜角 $\theta_0$. 由于分子的手性特性，倾斜过程围绕着近晶 层的法线，以及横向电极化 $\vec{P}$ (参见图 4.21)。在为描述从近晶-C相到近晶-A相的相变而开发的理论中， 倾角被视为系统的主要有序参数，非常像导向轴 $\hat{n}$ 在向列相或胆㽦相，而 $\vec{P}$ 被认为是次要的。
编写两个组件 $\vec{P}$ 和倾斜角 $x-y$ 平面作为 $\vec{P}=\left(P_x, P_y\right)$ 和 $\left.\theta=\left(\theta_1, \theta_2\right)\right)$, 自由能密度 $f_0(z)$ 的系统可以表示 为朗道型展开 $\theta_1, \theta_2, P_x ，$ 和 $P_y$ ，形式如下 $[48,49]$ :
$$
f_0(z)=\frac{1}{2} A\left(\theta_1^2+\theta_2^2\right)+\frac{1}{4} B\left(\theta_1^2+\theta_2^2\right)^2 \quad-\Lambda\left(\theta_1 \frac{d \theta_2}{d z}-\theta_2 \frac{d \theta_1}{d z}\right)+\frac{1}{2} K_3\left[\left(\frac{d \theta_1}{d z}\right)^2+\left(\frac{d \theta_2}{d z}\right)^2\right]
$$
在这个表达式中，只有主参数中二次项的系数与温度相关，而 $P^2$ 项是常数；之所以如此，是因为导致相变 的不是电极化之间的相互作用。系数 $A$ 是形式 $A=A_0\left(T-T_{C A}\right)$ ， 在哪里 $T_{C A}$ 是近晶-C-近晶-A转变温 度， $K_3$ 是弹性常数，并且 $\Lambda$ 是负责螺旋结构的所谓 Lifshitz 项的系数。 $\mu$ 和 $C$ 是倾斜和极化之间的挠曲电 和压电双线性耦合的系数。
物理代写|光学代写Optics代考|ELECTROMAGNETIC FORMALISM
光在介质中的散射是由光学介电常数的波动引起的 $\delta \varepsilon(\vec{r}, t)$. 在各向同性液体中， $\delta \varepsilon(\vec{r}, t)$ 主要是由于通常 由温度波动引起的密度波动，但也可能是由于其他一些机制，例如电致伸缩和分子重新定向 (见第 8 章和 第 9 章)。在液晶的有序相中，另一个重要的贡献是 $\delta \varepsilon(\vec{r}, t)$ 产生于 (双折射) 晶轴的波动、晶格变形和 流动。
光学介电常数的这些波动或变化会影响空间 $(k)$ 和时间 $(\omega)$ 频率以及入射光的偏振态。散射光的方向、偏振 和光谱由光学-液晶相互作用几何结构决定。
在液晶等单轴双折射介质中，介电常数张量可以写为
$$
\varepsilon_{\alpha \beta}=\varepsilon_{\perp} \delta_{\alpha \beta}+\left(\varepsilon_{\mid}-\varepsilon_{\perp}\right) n_\alpha n_\beta,
$$
在哪里 $n_\alpha$ 和 $n_\beta$ 是单位向量的分量 $\hat{n}$ (导演轴) 。波动 $\varepsilon_{\alpha \beta}$ 来自于变化 $\varepsilon_{\perp}$ 和 $\varepsilon_{/ /}$由于密度和温度波动以及 $\hat{n}[1]$
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