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物理代写|光学代写Optics代考|Field-induced Director Axis Rotation in SmC Liquid Crystals
In practical implementations or switching devices, the logical thing to do is to involve only one or a small number of these distortions. If an external field is applied, the field-dependent terms (cf. Eqs. $4.5 \mathrm{a}$ and $4.5 \mathrm{~b}$ ) should be added to the total free-energy expression.
The process of field-induced director axis distortion in $\mathrm{SmC}$ is analogous to the nematic case. For example, the first three terms on the right-hand side of (4.79) correspond to the splay term in nematics:
$$
\frac{1}{2} K_1\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)^2=\frac{1}{2} K_1\left(\frac{\partial \Omega_x}{\partial y}-\frac{\partial \Omega_y}{\partial x}\right)^2 .
$$
Accordingly, if only such distortions (i.e. no layer displacement or coupling effects) are induced in an SmC cell by an applied field, Freedericksz transitions (discussed in the previous chapter for nematics) will occur.
Consider, for example, the effect caused by a magnetic field as depicted in Figure 4.19. The applied field has three components, $H_1, H_2$ and $H_3$, and the respective diamagnetic susceptibility components are $\chi_1^m, \chi_2^m$ and $\chi_3^m ; \chi_3^m$ corresponds to the director axis, usually denoted as the $C$ axis; $\chi_2^m$ is along $\mathrm{y}$, and $\chi_1^m$ is in a direction orthogonal to both the three and $z$ axes.
If the applied field is along the $C$ axis (i.e. $H_3$ ), a Freedericksz transition is possible for $\chi_2^m>\chi_3^m$. The director should rotate around the $z$-axis so that, in the strong field limit, its projection onto the smectic layer coincides with the $y$ axis. There is no change in the tilt angle $\theta$. The threshold field for this process is
$$
H_{3 c}=\frac{\pi \sin \theta}{d}\left(\frac{B}{\chi_2^m-\chi_3^m}\right)^{1 / 2},
$$
物理代写|光学代写Optics代考|Free Energy of Ferroelectric Liquid Crystals
The free energy of ferroelectric liquid crystals is more complicated; besides the elastic energy $F_E$, several others play an equally important role in determining the response of the ferroelectric-liquid crystal to an external field. These include the surface energy density $F_s$, the spontaneous polarization density $F_P$, and the dielectric interaction energy density $F_{\text {diel }}$ with the applied field. These interactions have been studied by various workers; here we summarized the main results.
The elastic part of the free energy is analogous to the chiral nematic phase. It has been derived by [45] and expressed as follows:
$$
F_K=\frac{1}{2}\left{K_1(\nabla \cdot \hat{n})^2+K_2\left(\hat{n} \cdot(\nabla \times \hat{n})+Q_T\right)^2+K_3\left[\hat{n} \times(\nabla \times \hat{n})+Q_B\right]^2\right}
$$
where $Q_T$ and $Q_B$ are the inherent twist and bend wave numbers and $b=\hat{n} \times \hat{k}$, where $\hat{k}$ is the layer normal unit vector.
Using the geometry shown in Figure 4.10, the director axis $\hat{n}$ becomes
$$
\hat{n}=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)
$$
Equation (4.59) becomes
$$
F_E=F_0+\frac{1}{2} A\left(1+v \sin ^2 \phi\right)\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2+A(1+v) Q_0 \sin \phi\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)
$$
where
$$
\begin{gathered}
F_0=\frac{1}{2}\left[K_2 Q_T^2+K_3 Q_B^2\right] \
A=K_1 \sin ^2 \theta \
B=\left(K_2 \cos ^2 \theta+K_3 \sin ^2 \theta\right) \sin ^2 \theta \
v=\frac{B-A}{A} \
Q_0=\frac{K_2 Q_T \sin \theta \cos \theta+K_3 Q_B \sin ^2 \theta}{A(1+v)}
\end{gathered}
$$
物理代写|光学代写Optics代考|Field-induced Director Axis Rotation in SmC Liquid Crystals
在实际实现或交换设备中，逻辑上要做的事情是只涉及这些失真中的一个或少数几个。如果应用外部场， 则场相关项（参见方程式。 $4.5 \mathrm{a}$ 和 $4.5 \mathrm{~b}$ ) 应添加到总自由能表达式中。
场致导向器轴畸变的过程SmC类似于向列的情况。例如，(4.79) 右边的前三个项对应于向列学中的 splay 项:
$$
\frac{1}{2} K_1\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)^2=\frac{1}{2} K_1\left(\frac{\partial \Omega_x}{\partial y}-\frac{\partial \Omega_y}{\partial x}\right)^2 .
$$
因此，如果施加场在 SmC 单元中仅引起这种变形（即没有层位移或㻦合效应），就会发生 Freedericksz 跃迁 (在前一章中讨论的向列相)。
例如，考虑如图 $4.19$ 所示的磁场造成的影响。应用场由三个部分组成， $H_1, H_2$ 和 $H_3$, 并且各自的抗磁化 率分量是 $\chi_1^m, \chi_2^m$ 和 $\chi_3^m ; \chi_3^m$ 对应于导向轴，通常表示为 $C$ 轴; $\chi_2^m$ 沿着 $\mathrm{y}$ ，和 $\chi_1^m$ 是在与这三个正交的方向 上，并且 $z$ 轴。
如果应用场沿 $C$ 轴 (即 $H_3$ ）, Freedericksz 转换是可能的 $\chi_2^m>\chi_3^m$. 导演应围绕 $z$ 轴，因此在强场极限下， 它在近晶层上的投影与 $y$ 轴。倾斜角度没有变化 $\theta$. 此过程的阈值字段是
$$
H_{3 c}=\frac{\pi \sin \theta}{d}\left(\frac{B}{\chi_2^m-\chi_3^m}\right)^{1 / 2}
$$
物理代写|光学代写Optics代考|Free Energy of Ferroelectric Liquid Crystals
铁电液晶的自由能比较复杂；除了弹性能 $F_E$ ，其他几个在确定铁电液晶对外部场的响应方面起着同样重 要的作用。这些包括表面能密度 $F_s$ ，自发极化密度 $F_P$ ，和介电相互作用能量密度 $F_{\text {diel }}$ 与应用领域。这些相 互作用已被各种工人研究过；在这里，我们总结了主要结果。
自由能的弹性部分类似于手性向列相。它由[45]推导出来并表示如下:
在哪里 $Q_T$ 和 $Q_B$ 是固有的扭曲和弯曲波数和 $b=\hat{n} \times \hat{k}$ ，在哪里 $\hat{k}$ 是层法线单位向量。
使用图 $4.10$ 所示的几何图形，导向轴 $\hat{n}$ 变成
$$
\hat{n}=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)
$$
等式 (4.59) 变为
$$
F_E=F_0+\frac{1}{2} A\left(1+v \sin ^2 \phi\right)\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2+A(1+v) Q_0 \sin \phi\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)
$$
在哪里
$$
F_0=\frac{1}{2}\left[K_2 Q_T^2+K_3 Q_B^2\right] \quad A=K_1 \sin ^2 \theta B=\left(K_2 \cos ^2 \theta+K_3 \sin ^2 \theta\right) \sin ^2 \theta v=\frac{B-A}{A} Q_0=\frac{K_2 Q_T \operatorname{si}}{x}
$$
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