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物理代写|力学代写mechanics代考|Stress-Optical Equations
Consider a plane transparent specimen of a birefringent material. According to the Neuman-Maxwell stress-optical law, when a light beam is incident on the specimen it is divided into two linearly polarized beams along the principal stress directions and the index of refraction changes according to the following equation
$$
\begin{aligned}
&\Delta n_1=n_1-n=b_1 \varepsilon_1+b_2\left(\varepsilon_2+\varepsilon_3\right) \
&\Delta n_2=n_2-n=b_1 \varepsilon_2+b_2\left(\varepsilon_1+\varepsilon_3\right)
\end{aligned}
$$
where
For linear elastic materials under conditions of plane stress $\left(\sigma_3=0\right)$ we have according to Hooke’s law
$$
\varepsilon_1=\frac{1}{E}\left(\sigma_1-v \sigma_2\right), \quad \varepsilon_2=\frac{1}{E}\left(\sigma_2-v \sigma_1\right), \quad \varepsilon_3=-\frac{v}{E}\left(\sigma_1+\sigma_2\right)
$$
where $\sigma_1$ and $\sigma_2$ are the principal stresses, and $E$ and $v$ are the modulus of elasticity and Poisson’s ratio.
When Eq. (6.29) is expressed in terms of stresses it takes the form
$$
\begin{aligned}
&\Delta n_1=n_1-n=A \sigma_1+B \sigma_2 \
&\Delta n_2=n_2-n=B \sigma_1+A \sigma_2
\end{aligned}
$$
where
$$
A=\frac{b_1-2 v b_2}{E}, \quad B=\frac{b_2-v\left(b_1+b_2\right)}{E}
$$
Consider a linearly polarized light beam normally traversing and passing through the specimen along the direction of the principal stress $\sigma_1$. Let $\mathrm{A}$ and $\mathrm{B}$ be two reference points along the light ray on opposite sides of the specimen (Fig. 6.6). The optical length (product of geometrical length times the index of refraction) between points $\mathrm{A}$ and $\mathrm{B}, s_A=(A B)$, is given by
$$
S_A=L n_0+d\left(n-n_0\right)
$$
物理代写|力学代写mechanics代考|Principle of the Method
In the method of caustics, a transparent or opaque specimen with a crack is illuminated by a light beam and the obtained optical effect is observed on a screen placed at some distance from the specimen. The reflected or transmitted rays undergo a change of their optical path due to the variation of the refractive index and the thickness of the specimen when it is loaded. The reflected or transmitted rays near the crack tip, due to the existing stress singularity, deviate and generate a highly illuminated three-dimensional surface in space (Fig. 6.8). When this surface is intersected by a reference screen, a highly illuminated curve, the so-called caustic is formed. The caustic surrounds the crack tip. It is the image on the reference screen of the initial curve on the specimen. The caustic separates an inside dark area from an outside gray area. The dark area is a result of the deflection of light rays. For transparent materials, three caustics are formed by the light rays reflected from the front and rear surfaces and those transmitted through the specimen. For opaque materials, one caustic is formed by the light rays reflected from the front surface of the specimen. The dimensions of the caustic are related to the state of stress in the neighborhood of the crack tip. The stress intensity factor, which governs the stress field near the crack tip, can be determined by measuring characteristic dimensions of the caustic, usually, its diameter perpendicular to the crack plane.
In the following we develop the equations of caustics for two-dimensional crack problems under conditions of generalized plane stress and relate the dimensions of the caustics to the stress intensity factors.
物理代写|力学代写mechanics代考|Stress-Optical Equations
考虑一个双折射材料的平面透明样品。根据 Neuman-Maxwell 应力-光学定律，当光束入射到试样上时， 它沿主应力方向分为两束线偏振光束，折射率根据以下方程变化
$$
\Delta n_1=n_1-n=b_1 \varepsilon_1+b_2\left(\varepsilon_2+\varepsilon_3\right) \quad \Delta n_2=n_2-n=b_1 \varepsilon_2+b_2\left(\varepsilon_1+\varepsilon_3\right)
$$
其中
对于平面应力条件下的线弹性材料 $\left(\sigma_3=0\right)$ 根据胡克定律，我们有
$$
\varepsilon_1=\frac{1}{E}\left(\sigma_1-v \sigma_2\right), \quad \varepsilon_2=\frac{1}{E}\left(\sigma_2-v \sigma_1\right), \quad \varepsilon_3=-\frac{v}{E}\left(\sigma_1+\sigma_2\right)
$$
在哪里 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是主应力，并且 $E$ 和 $v$ 是弹性模量和泊松比。
当方程式。(6.29) 用应力表示，它采用以下形式
$$
\Delta n_1=n_1-n=A \sigma_1+B \sigma_2 \quad \Delta n_2=n_2-n=B \sigma_1+A \sigma_2
$$
在哪里
$$
A=\frac{b_1-2 v b_2}{E}, \quad B=\frac{b_2-v\left(b_1+b_2\right)}{E}
$$
考虑通常沿主应力方向穿过并穿过试样的线偏振光束 $\sigma_1$. 让 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 是试样两侧沿光线的两个参考点 (图 6.6) 。点之间的光学长度 (几何长度乘以折射率的乘积) $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}, s_A=(A B)$ ， 是 (谁) 给的
$$
S_A=L n_0+d\left(n-n_0\right)
$$
物理代写|力学代写mechanics代考|Principle of the Method
在焦散法中，带有裂纹的透明或不透明试样被光束照射，并在距试样一定距离的屏幕上观察所获得的光学效果。由于试样加载时折射率和厚度的变化，反射或透射光线的光路发生变化。由于存在应力奇异性，裂纹尖端附近的反射或透射光线会发生偏离并在空间中产生高度照明的三维表面（图 6.8）。当该表面与参考屏幕相交时，会形成一条高亮度曲线，即所谓的焦散线。苛性碱围绕着裂纹尖端。它是样本上初始曲线的参考屏幕上的图像。苛性碱将内部黑暗区域与外部灰色区域分开。暗区是光线偏转的结果。对于透明材料，由前后表面反射的光线和透过试样的光线形成三个焦散线。对于不透明的材料，从样品前表面反射的光线会形成一种苛性碱。苛性碱的尺寸与裂纹尖端附近的应力状态有关。支配裂纹尖端附近应力场的应力强度因子可以通过测量苛性碱的特征尺寸来确定，通常是垂直于裂纹平面的直径。对于不透明的材料，从样品前表面反射的光线会形成一种苛性碱。苛性碱的尺寸与裂纹尖端附近的应力状态有关。支配裂纹尖端附近应力场的应力强度因子可以通过测量苛性碱的特征尺寸来确定，通常是垂直于裂纹平面的直径。对于不透明的材料，从样品前表面反射的光线会形成一种苛性碱。苛性碱的尺寸与裂纹尖端附近的应力状态有关。支配裂纹尖端附近应力场的应力强度因子可以通过测量苛性碱的特征尺寸来确定，通常是垂直于裂纹平面的直径。
在下文中，我们开发了广义平面应力条件下二维裂纹问题的焦散方程，并将焦散的尺寸与应力强度因子联系起来。
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