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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Boost from the rest frame
Now we can demonstrate how a boost transforming a particle at rest into a moving particle leads directly to the Dirac equation, which thus appears as a consequence of Lorentz symmetry. Consider a special boost from the rest frame of the particle to a moving inertial frame where the particle has a 4 -momentum $p^\mu$,
$$
\begin{aligned}
&\text { rest frame } K \quad \longrightarrow \text { moving frame } K^{\prime} \
&\text { 4-momentum }(m, \overrightarrow{0}) \longrightarrow(E, \vec{p})=\left(p^0, \vec{p}\right)
\end{aligned}
$$
$K^{\prime}$ moves relatively to $K$ into the direction opposite to the momentum, i.e. the boost axis $\vec{n}_b$ is given by
$$
\vec{n}_b=-\vec{n}, \quad \vec{n}=\frac{\vec{p}}{|\vec{p}|}
$$
and the rapidity is determined by
$$
\cosh \phi=\frac{E}{m} .
$$
The 2-dimensional representation matrices thus read as follows,
$$
\begin{aligned}
&D=e^{-\frac{\phi}{2} \vec{n} \cdot \vec{\sigma}}=\mathbb{1} \cosh \frac{\phi}{2}-(\vec{n} \cdot \vec{\sigma}) \sinh \frac{\phi}{2} \
&\bar{D}=e^{+\frac{\phi}{2} \vec{n} \cdot \vec{\sigma}}=\mathbb{1} \cosh \frac{\phi}{2}+(\vec{n} \cdot \vec{\sigma}) \sinh \frac{\phi}{2}
\end{aligned}
$$
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Covariance of the Dirac equation
A Lorentz transformation $\Lambda$ without inversion is represented in the 4-dimensional spinor space by the matrices
$$
\Lambda \longrightarrow\left(\begin{array}{cc}
D & 0 \
0 & \bar{D}
\end{array}\right)=: S(\Lambda)
$$ in the chiral representation. Thus, a 4-component spinor $\psi(x)$ transforms according to
$$
\psi(x) \longrightarrow \psi^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=S(\Lambda) \psi(x) \quad \text { with } x^{\prime \mu}=\Lambda_\nu^\mu x^\nu .
$$
For the following discussion we introduce a compact notation for the Pauli and Dirac matrices by defining
$$
\sigma^0=\mathbb{1}, \quad \sigma^\mu=\left(\sigma^0, \vec{\sigma}\right), \quad \bar{\sigma}^\mu=\left(\sigma^0,-\vec{\sigma}\right) .
$$
With this notation the $\gamma$ matrices in the chiral representation read as follows,
$$
\gamma^\mu=\left(\begin{array}{cc}
0 & \sigma^\mu \
\bar{\sigma}^\mu & 0
\end{array}\right)
$$
For the matrices $D$ und $\bar{D}$ the following relations hold ${ }^2$
$$
D^{\dagger}=\bar{D}^{-1}, \quad \bar{D}^{\dagger}=D^{-1}
$$
as can easily be seen from the expressions (2.111) and (2.112).
This implies the fundamental properties
$$
\begin{aligned}
&\bar{D}^{\dagger} \sigma^\mu \bar{D}=\Lambda_\nu^\mu \sigma^\nu \
&D^{\dagger} \bar{\sigma}^\mu D=\Lambda_\nu^\mu \bar{\sigma}^\nu
\end{aligned}
$$
In case of rotations these relations are reduced to those in Eq. (2.105).
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Boost from the rest frame
现在我们可以演示如何将静止粒子转化为运动粒子的升压直接导致狄拉克方程，从而表现为洛伦兹对称性 的结果。考虑从粒子的静止框架到粒子具有 4 动量的移动惯性框架的特殊提升 $p^\mu$ ，
rest frame $K \quad \longrightarrow$ moving frame $K^{\prime} \quad$ 4-momentum $(m, \overrightarrow{0}) \longrightarrow(E, \vec{p})=\left(p^0, \vec{p}\right)$
$K^{\prime}$ 相对移动 $K$ 进入与动量相反的方向，即助推轴 $\vec{n}_b$ 是 (谁) 给的
$$
\vec{n}_b=-\vec{n}, \quad \vec{n}=\frac{\vec{p}}{|\vec{p}|}
$$
速序由下式决定
$$
\cosh \phi=\frac{E}{m} .
$$
因此，二维表示矩阵如下所示，
$$
D=e^{-\frac{\phi}{2} \vec{n} \cdot \vec{\sigma}}=1 \cosh \frac{\phi}{2}-(\vec{n} \cdot \vec{\sigma}) \sinh \frac{\phi}{2} \quad \bar{D}=e^{+\frac{\phi}{2} \vec{n} \cdot \vec{\sigma}}=1 \cosh \frac{\phi}{2}+(\vec{n} \cdot \vec{\sigma}) \sinh \frac{\phi}{2}
$$
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Covariance of the Dirac equation
洛伦兹变换 $\Lambda$ 没有反演在 4 维旋量空间中由矩阵表示
$$
\Lambda \longrightarrow\left(\begin{array}{llll}
D & 0 & 0 & \bar{D}
\end{array}\right)=: S(\Lambda)
$$
在手性表示中。因此，一个 4 分量旋量 $\psi(x)$ 根据变换
$$
\psi(x) \longrightarrow \psi^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=S(\Lambda) \psi(x) \quad \text { with } x^{\prime \mu}=\Lambda_\nu^\mu x^\nu .
$$
对于下面的讨论，我们通过定义为泡利和狄拉克矩阵引入一个紧凑的符号
$$
\sigma^0=1, \quad \sigma^\mu=\left(\sigma^0, \vec{\sigma}\right), \quad \bar{\sigma}^\mu=\left(\sigma^0,-\vec{\sigma}\right) .
$$
有了这个符号 $\gamma$ 手性表示中的矩阵如下所示，
对于矩阵 $D$ 和 $\bar{D}$ 以下关系成立 ${ }^2$
$$
D^{\dagger}=\bar{D}^{-1}, \quad \bar{D}^{\dagger}=D^{-1}
$$
从表达式 (2.111) 和 (2.112) 可以很容易地看出。
这意味着基本属性
$$
\bar{D}^{\dagger} \sigma^\mu \bar{D}=\Lambda_\nu^\mu \sigma^\nu \quad D^{\dagger} \bar{\sigma}^\mu D=\Lambda_\nu^\mu \bar{\sigma}^\nu
$$
在旋转的情况下，这些关系简化为方程式中的关系。(2.105)。
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