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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Static magnetic field

A static magnetic field is described by the 4-potential
$$
A^0=0, \quad \vec{A}=\vec{A}(\vec{x})
$$

In the non-relativistic approximation for $|\vec{p}| \ll m,|E-m| \ll m$ and with the ansatz in the Dirac representation
$$
\psi=e^{-i m t}\left(\begin{array}{l}
\varphi \
\chi
\end{array}\right) \quad \text { where } \chi=\mathcal{O}\left(\frac{|\vec{p}|}{m}\right) \cdot \varphi,
$$
an expansion in the leading terms yields a 2-component equation for $\varphi$,
$$
i \partial_0 \varphi=\left[\frac{1}{2 m}(-i \nabla-e \vec{A})^2-\frac{e}{2 m} \vec{\sigma} \cdot \vec{B}\right] \varphi
$$
which is recognized as the Pauli equation. The spin part within the brackets,
$$
\frac{e}{2 m} \vec{\sigma} \cdot \vec{B}=\frac{e}{2 m} g \vec{S} \cdot \vec{B},
$$
describes the interaction of the electron magnetic moment with the magnetic field. The $g$-factor is predicted as $g=2$; the small deviation from the experimental value, of the order $10^{-3}$, is another quantum effect of the electromagnetic field.

The derivation of the Pauli equation in the non-relativistic limit is briefly explained. Starting from Eq. (2.136), the ansatz (2.140) leads to coupled equations for the 2 -component spinors $\varphi$ and $\chi$,
$$
\begin{aligned}
&i \partial_0 \varphi=\sigma \cdot(\vec{P}-e \vec{A}) \chi, \
&i \partial_0 \chi=\sigma \cdot(\vec{P}-e \vec{A}) \varphi-2 m \chi,
\end{aligned}
$$
yielding $\chi$ as follows,
$$
\chi=\frac{1}{2 m} \sigma \cdot(\vec{P}-e \vec{A}) \varphi-\frac{1}{2 m} i \partial_0 \chi \approx \frac{1}{2 m} \sigma \cdot(\vec{P}-e \vec{A}) \varphi
$$
since the second term is of the order $\mathcal{O}\left(|\vec{p}|^2 / \mathrm{m}^2\right)$ and does not contribute to the expansion in the leading terms.

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Free Electromagnetic Field

The basis for the description of the classical electromagnetic field has already been given in Sec. 1.6. In the 4-dimensional formulation the vector potential $A^\mu(x)$ in Lorentz gauge $\partial_\mu A^\mu=0$ fulfills Maxwell’s equations in terms of an inhomogeneous wave equation
$$
\square A^\mu=j^\mu
$$
with the source given by the 4-current $j^\mu$. In QED the current is formed by the charged leptons and quarks.

As a first item we consider the free field with $j^\mu=0$, which is a pure radiation field. By a gauge transformation, the solutions $A^\mu$ of the free wave equation can always be cast into the form
$$
\left(A^\mu\right)=(0, \vec{A}) \quad \text { with } \partial_\mu A^\mu=\nabla \cdot \vec{A}=0
$$
denoted as the radiation gauge. A complete set of solutions is given by the system of plane waves,
$$
\epsilon_\lambda^\mu e^{\pm i k x}
$$
with the wave vector $\left(k^\mu\right)=\left(k^0, \vec{k}\right)$ complying with
$$
k^0=|\vec{k}|,
$$ and the transverse polarization vectors
$$
\left(\epsilon_\lambda^\mu\right)=\left(0, \vec{\epsilon}\lambda\right), \quad \lambda=1,2, $$ which are orthogonal to the wave vector, $$ \epsilon\lambda \cdot k=\epsilon_\lambda^\mu \cdot k_\mu=0
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS7076

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Static magnetic field

静磁场由 4 电位描述
$$
A^0=0, \quad \vec{A}=\vec{A}(\vec{x})
$$
在非相对论近似中 $|\vec{p}| \ll m,|E-m| \ll m$ 并与狄拉克表示中的 ansatz
$$
\psi=e^{-i m t}(\varphi \chi) \quad \text { where } \chi=\mathcal{O}\left(\frac{|\vec{p}|}{m}\right) \cdot \varphi,
$$
前导项的展开产生一个 2 分量方程 $\varphi$,
$$
i \partial_0 \varphi=\left[\frac{1}{2 m}(-i \nabla-e \vec{A})^2-\frac{e}{2 m} \vec{\sigma} \cdot \vec{B}\right] \varphi
$$
这被认为是泡利方程。括号内的旋转部分,
$$
\frac{e}{2 m} \vec{\sigma} \cdot \vec{B}=\frac{e}{2 m} g \vec{S} \cdot \vec{B},
$$
描述了电子磁矩与磁场的相互作用。这 $g$-因子被预测为 $g=2$; 与实验值的小偏差,阶数 $10^{-3}$ ,是电磁场 的另一个量子效应。
简述泡利方程在非相对论极限下的推导。从方程式开始。(2.136), ansatz (2.140) 导致 2 分量旋量的䰤合方 程 $\varphi$ 和 $\chi_1$
$$
i \partial_0 \varphi=\sigma \cdot(\vec{P}-e \vec{A}) \chi, \quad i \partial_0 \chi=\sigma \cdot(\vec{P}-e \vec{A}) \varphi-2 m \chi,
$$
屈服 $\chi$ 如下,
$$
\chi=\frac{1}{2 m} \sigma \cdot(\vec{P}-e \vec{A}) \varphi-\frac{1}{2 m} i \partial_0 \chi \approx \frac{1}{2 m} \sigma \cdot(\vec{P}-e \vec{A}) \varphi
$$
因为第二项是有序的 $\mathcal{O}\left(|\vec{p}|^2 / \mathrm{m}^2\right)$ 并且对领先条款的扩张没有贡献。

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Free Electromagnetic Field

描述经典电磁场的基础已经在第二节中给出。1.6. 在 4 维公式中,向量势 $A^\mu(x)$ 在洛伦兹规 $\partial_\mu A^\mu=0$ 根 据非齐次波动方程满足麦克斯韦方程
$$
\square A^\mu=j^\mu
$$
与由 4 电流给出的源 $j^\mu$. 在 QED 中,电流由带电的轻子和夸克形成。
作为第一项,我们考虑自由场 $j^\mu=0$ ,这是一个纯辐射场。通过规范变换,解 $A^\mu$ 自由波动方程总是可以 转换为形式
$$
\left(A^\mu\right)=(0, \vec{A}) \quad \text { with } \partial_\mu A^\mu=\nabla \cdot \vec{A}=0
$$
表示为辐射计。平面波系统给出了一套完整的解决方案,
$$
\epsilon_\lambda^\mu e^{\pm i k x}
$$
与波向量 $\left(k^\mu\right)=\left(k^0, \vec{k}\right)$ 遉守
$$
k^0=|\vec{k}|,
$$
和横向极化向量
$$
\left(\epsilon_\lambda^\mu\right)=(0, \vec{\epsilon} \lambda), \quad \lambda=1,2,
$$
与波矢量正交,
$$
\epsilon \lambda \cdot k=\epsilon_\lambda^\mu \cdot k_\mu=0
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考

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