物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS3101

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Lorentz covariants

By means of their transformation properties the following combinations of spinors and Dirac matrices can be classified as tensors of various ranks,
$\begin{array}{ll}\bar{\psi} \psi & \text { scalar } \ \bar{\psi} \gamma_5 \psi & \text { pseudoscalar } \ \bar{\psi} \gamma^\mu \psi & \text { vector } \ \bar{\psi} \gamma^\mu \gamma_5 \psi & \text { pseudovector, axialvector } \ \bar{\psi} \sigma^{\mu \nu} \psi & \text { 2nd rank tensor, } \quad \sigma^{\mu \nu}=\frac{i}{2}\left[\gamma^\mu, \gamma^\nu\right] .\end{array}$
The transformation properties can be immediately derived from $\psi \rightarrow S \psi$ and the relation (2.131) for the representation matrices $S$, together with
$$
S^{-1}=\gamma^0 S^{\dagger} \gamma^0 .
$$
Two examples are made explicit, the others are left as exercises.

  • Scalar
    $$
    \overline{\psi^{\prime}} \psi^{\prime}=(S \psi)^{\dagger} \gamma^0 S \psi=\psi^{\dagger} S^{\dagger} \gamma^0 S \psi=\bar{\psi}\left(\gamma^0 S^{\dagger} \gamma^0\right) S \psi=\bar{\psi} S^{-1} S \psi=\bar{\psi} \psi
    $$
  • Vector
    $$
    \begin{aligned}
    \overline{\psi^{\prime}} \gamma^\mu \psi^{\prime}=(S \psi)^{\dagger} \gamma^0 \gamma^\mu S \psi=\psi^{\dagger} S^{\dagger} \gamma^0 \gamma^\mu S \psi &=\bar{\psi}\left(\gamma^0 S^{\dagger} \gamma^0\right) \gamma^\mu S \psi \
    &=\bar{\psi} S^{-1} \gamma^\mu S \psi=\Lambda_\nu^\mu \bar{\psi} \gamma^\nu \psi
    \end{aligned}
    $$
    For covariants involving $\gamma_5$ one has to distinguish between $S=\gamma^0$ for inversions and $S(\Lambda)$ for Lorentz transformations $\Lambda$ without an inversion,
    $$
    S^{-1} \gamma_5 S= \begin{cases}+\gamma_5 & \text { for } S=S(\Lambda) \ -\gamma_5 & \text { for } S=S(\mathbf{P})\end{cases}
    $$
    yielding different signs under space inversions for pseudoscalar and axialvector in comparison to scalar and vector.

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Dirac Particle in an External Electromagnetic Field

Although relativistic one-particle quantum mechanics is not a consistent physics concept, it may be a useful tool for an approximative description of certain limiting cases. A typical example is a Dirac particle (electron or muon) at a low momentum scale in an external electromagnetic field which is treated as a classical field. The general case of an interaction with the electromagnetic quantum field corresponds to quantum electrodynamics and will be the content of the subsequent chapter.

Consider an electron (or muon) with mass $m$ and charge $e$ in a given electromagnetic field described by its classical 4-potential $\left(A^\mu\right)=\left(A^0, \vec{A}\right)$. The minimal substitution 3
$$
P_\mu \rightarrow P_\mu-e A_\mu, \quad i \partial_\mu \rightarrow i \partial_\mu-e A_\mu
$$
in the free Dirac equation (2.50) introduces the electromagnetic interaction between $A_\mu$ and the fermion described by the Dirac spinor $\psi$,
$$
\gamma^\mu\left(i \partial_\mu-e A_\mu\right) \psi-m \psi=0
$$
or equivalently expressed in terms of the $\vec{\alpha}$ and $\beta$ matrices,
$$
i \partial_0 \psi=\left[\vec{\alpha} \cdot(-i \nabla-e \vec{A})+e A_0+\beta m\right] \psi \text {. }
$$
For non-relativistic momenta this can be handled as a single-particle equation where $\psi$ plays the role of a 1-particle wave function. Two important special cases are:

  • electron in a static Coulomb field,
  • electron in a static magnetic field.
    Historically, the derived phenomena discussed below had a significant impact on the success of the Dirac equation.
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS3101

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Lorentz covariants

通过它们的变换性质,以下旋量和狄拉克矩阵的组合可以分类为各种等级的张量,
$\bar{\psi} \psi \quad$ scalar $\bar{\psi} \gamma_5 \psi \quad$ pseudoscalar $\bar{\psi} \gamma^\mu \psi$ vector $\bar{\psi} \gamma^\mu \gamma_5 \psi$ pseudovector, axialvector $\bar{\psi} \sigma^{\mu \nu} \psi$ 转换属性可以立即从 $\psi \rightarrow S \psi$ 以及表示矩阵的关系 (2.131) $S$ , 和…一起
$$
S^{-1}=\gamma^0 S^{\dagger} \gamma^0 .
$$
有两个例子是明确的,其他的留作练习。

  • 标量
    $$
    \overline{\psi^{\prime}} \psi^{\prime}=(S \psi)^{\dagger} \gamma^0 S \psi=\psi^{\dagger} S^{\dagger} \gamma^0 S \psi=\bar{\psi}\left(\gamma^0 S^{\dagger} \gamma^0\right) S \psi=\bar{\psi} S^{-1} S \psi=\bar{\psi} \psi
    $$
  • 向量
    $$
    \overline{\psi^{\prime}} \gamma^\mu \psi^{\prime}=(S \psi)^{\dagger} \gamma^0 \gamma^\mu S \psi=\psi^{\dagger} S^{\dagger} \gamma^0 \gamma^\mu S \psi=\bar{\psi}\left(\gamma^0 S^{\dagger} \gamma^0\right) \gamma^\mu S \psi \quad=\bar{\psi} S^{-1} \gamma^\mu S \psi=\Lambda_\nu^\mu \bar{\psi} \gamma^\nu \psi
    $$
    对于涉及的协变量 $\gamma_5$ 必须区分 $S=\gamma^0$ 对于倒置和 $S(\Lambda)$ 对于洛伦兹变换 $\Lambda$ 没有反转,
    $$
    S^{-1} \gamma_5 S=\left{+\gamma_5 \quad \text { for } S=S(\Lambda)-\gamma_5 \quad \text { for } S=S(\mathbf{P})\right.
    $$
    与标量和向量相比,在伪标量和轴向向量的空间反转下产生不同的符号。

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Dirac Particle in an External Electromagnetic Field

尽管相对论单粒子量子力学不是一个一致的物理概念, 但它可能是对某些极限情况进行近似描述的有用工 具。一个典型的例子是在外部电磁场中处于低动量尺度的狄拉克粒子 (电子或 $\mu$ 子),它被视为经典场。 与电磁量子场相互作用的一般情况对应于量子电动力学,将是下一章的内容。
考虑一个有质量的电子 (或 $\mu$ 子) $m$ 并收费 $e$ 在由其经典 4 势描述的给定电磁场中 $\left(A^\mu\right)=\left(A^0, \vec{A}\right)$. 最小 替代 3
$$
P_\mu \rightarrow P_\mu-e A_\mu, \quad i \partial_\mu \rightarrow i \partial_\mu-e A_\mu
$$
在自由狄拉克方程 (2.50) 中引入了电磁相互作用 $A_\mu$ 以及狄拉克旋量所描述的费米子 $\psi_{} \text {, }$
$$
\gamma^\mu\left(i \partial_\mu-e A_\mu\right) \psi-m \psi=0
$$
或等效地表示为 $\vec{\alpha}$ 和 $\beta$ 矩阵,
$$
i \partial_0 \psi=\left[\vec{\alpha} \cdot(-i \nabla-e \vec{A})+e A_0+\beta m\right] \psi
$$
对于非相对论动量,这可以作为单粒子方程处理,其中 $\psi$ 起一粒子波函数的作用。两个重要的特殊情况 是:

  • 静态库仑场中的电子,
  • 静磁场中的电子。
    从历史上看,下面讨论的衍生现象对狄拉克方程的成功产生了重大影响。
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考

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