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物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Fractal Structures

Near the critical point of gas-to-liquid phase transition, $C_n(r)(9.27)$ showed long range correlation. At the critical point, where the correlation length $\xi$ diverges, $C_n(r) \sim r^{-\alpha}$, where $\alpha=d-2+\eta$, and $d$ is space dimension. Using (9.41)
$$
S(\boldsymbol{q}) \sim \int d^d r e^{-i q \cdot \boldsymbol{r}} r^{-\alpha}=q^{-d+\alpha} \int d^d(q r) e^{-i q \cdot r}(q r)^{-\alpha} \sim q^{-d+o} .
$$
The power laws both in the correlation and the structure implies an absence of any characteristic length scales, i.e., the structure looks the same at any magnification. This scale-invariant self-similar structure is called fractal.

Fractals are ubiquitous in nature (in the systems at thermodynamic critical points as well as in complex systems, e.g., polymers, snowflakes, colloidal aggregates, coastlines), and also can be artificially designed. Application of the concept of fractal nature may be valuable when measuring the properties of irregular biological structures, such as living organs (Fig. 9.5b). Consider a fractal of size $R$ that contains $N$ particles or units. The structure of a random fractal is characterized by the fractal dimension, which is defined by the way in which $N$ changes with $R$. For ordinary compact structures in $3 D, N \sim(R / l)^3$, where $l$ is inter-particle distance. For isotropic fractals,
$$
N \sim(R / l)^{D_j}
$$

where $D_f$, called the fractal dimension, is less than 3 and can also be a non-integer number. For example, $D_f$ of an ideal polymer chain is 2, as shown below. The fractal dimension is related to the radial distribution $g(r)$ and its Fourier transform $S(q)$ as following. Consider the number $N(r)$ of particles within a radius $r(l \ll r \ll R)$ from a central particle deep within the fractal. By the definition of radial distribution function, the number of particles within a shell of thickness $d r$ located at distance $r$ (Fig. 4.4) is
$$
d N(r) \sim g(r) r^{d-1} d r .
$$
This, along with $N(r) \sim(r / l)^{D_f}$, leads to $g(r) \sim(r / l)^{-d+D_f}$, so $(9.43)$ yields
$$
S(q) \sim(q l)^{-D_f} \sim q^{-D_f},
$$
for the region of moderate $q\left(R^{-1} \ll q \ll l^{-1}\right)$, in which scale-invariance is expected. The fractal dimension $D_f$ can be read from the power law decay of the structure factor (9.57) tells us $D_f=d-\alpha=2-\eta$ for a fluid at the critical point. The scattering for very small $q$, on the other hand, senses the large lengths beyond the finite size of the system $R$, on which the structure factor depends. A flexible chain studied below serves as another example and allows an analytical understanding of the features mentioned above.

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Structure Factor of a Flexible Polymer Chain

The polymer structure can be probed by scattering experiments, such as small angle $\mathrm{x}$-ray scattering (SAXS) and small angle neutron scattering (SANS). The scattering intensity for a single chain is proportional to the structure factor $S(\boldsymbol{q})=$ $N^{-1}\left\langle\sum_{n, m}^N e^{-i q \cdot r_{m m}}\right\rangle(9.36)$, where $N$ is the number of beads that compose the polymer, and $\boldsymbol{r}{n m}=\boldsymbol{r}_n-\boldsymbol{r}_m$ is the distance between the $n$th and $m$ th beads. Averaging over the orientations of the vector $\boldsymbol{r}{n m}$ yields
$$
\left\langle e^{-i q \cdot r_{r_m}}\right\rangle=\frac{1}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} d \varphi \int_{-1}^1 d \cos \theta\left\langle e^{-i \cos \theta q r_{m m} \mid}\right\rangle=\left\langle\frac{\sin \left(q\left|\boldsymbol{r}{n m}\right|\right)}{q\left|\boldsymbol{r}{n m}\right|}\right\rangle .
$$
For small $q$, or small scattering angle $\theta(q=2 k \sin (\theta / 2)$, Fig. 9.1),

$$
\begin{aligned}
S(\boldsymbol{q}) &=N^{-1} \sum_{n, m}^N\left\langle\frac{\sin \left(q\left|\boldsymbol{r}{n m}\right|\right)}{q\left|\boldsymbol{r}{n m}\right|}\right\rangle \
& \approx N^{-1} \sum_{n, m}^N\left\langle 1-\frac{1}{6} q^2\left|\boldsymbol{r}{n m}\right|^2\right\rangle=N\left(1-\frac{1}{3} q^2 R_G^2\right) \end{aligned} $$ where the radius of gyration $R_G$ defined by $$ R_G^2=\frac{1}{2 N^2} \sum{n, m}^N\left\langle\left(\boldsymbol{r}n-\boldsymbol{r}_m\right)^2\right\rangle=\frac{1}{N} \sum{n=1}^N\left\langle\left(\boldsymbol{r}n-\boldsymbol{R}{c m}\right)^2\right\rangle
$$
represents the chain size $R$ and $\boldsymbol{R}{c m}$ is the center of mass position. Therefore, from the data of small $q$ or small angle scattering, one can get information about the radius of gyration. For a chain in which $\boldsymbol{r}{n m}$ is distributed in Gaussian,
$$
\begin{aligned}
S(\boldsymbol{q}) &=N^{-1} \sum_{n, m}^N\left\langle e^{-i \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{r}{\boldsymbol{m}}}\right\rangle=N^{-1} \sum{n, m}^N \exp \left(-\frac{1}{2}\left\langle\left(\boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{r}{n m}\right)^2\right\rangle\right) \ &=N^{-1} \sum{n, m}^N \exp \left(-\frac{1}{6} q^2\left\langle\boldsymbol{r}_{n m}^2\right\rangle\right)
\end{aligned}
$$

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|PHYSICS7546

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Fractal Structures

在气液相变临界点附近, $C_n(r)(9.27)$ 显示出长程相关性。在临界点,相关长度 $\xi$ 分歧, $C_n(r) \sim r^{-\alpha}$ , 在挪里 $\alpha=d-2+\eta$ ,和 $d$ 是空间维度。使用 (9.41)
$$
S(\boldsymbol{q}) \sim \int d^d r e^{-i q \cdot r} r^{-\alpha}=q^{-d+\alpha} \int d^d(q r) e^{-i q \cdot r}(q r)^{-\alpha} \sim q^{-d+o} .
$$
相关性和结构中的幕律意味着不存在任何特征长度尺度,即结构在任何放大倍数下看起来都相同。这种尺 度不变的自相似结构称为分形。
分形在自然界中无处不在 (在热力学临界点的系统以及复杂系统中,例如聚合物、雪花、胶体聚集体、海 岸线),也可以人工设计。在测量不规则生物结构(例如活体器官)的特性时,应用分形性质的概念可能 很有价值(图 9.5b) 。考虑大小的分形 $R$ 包含 $N$ 粒子或单位。随机分形的结构以分形维数为特征,分形维 向同性分形,
$$
N \sim(R / l)^{D_j}
$$
在哪里 $D_f$ ,称为分形维数,小于 3 ,也可以是非整数。例如, $D_f$ 理想聚合物链的 $\alpha$ 为 2 ,如下所示。分 形维数与径向分布有关 $g(r)$ 及其傅里叶变换 $S(q)$ 如下。考虑数字 $N(r)$ 半径内的粒子数 $r(l \ll r \ll R)$ 来自 分形深处的一个中心粒子。根据径向分布函数的定义,壳内的粒子数 $d r$ 位于远处 $r$ (图 4.4) 是
$$
d N(r) \sim g(r) r^{d-1} d r .
$$
这与 $N(r) \sim(r / l)^{D_f}$ ,导致 $g(r) \sim(r / l)^{-d+D_f}$ ,所以 $(9.43)$ 产量
$$
S(q) \sim(q l)^{-D_f} \sim q^{-D_f},
$$
对于中度地区 $q\left(R^{-1} \ll q \ll l^{-1}\right)$ ,其中尺度不变性是预期的。分形维数 $D_f$ 可以从勗律哀减的结构因子 (9.57) 告诉我们 $D_f=d-\alpha=2-\eta$ 对于临界点的流体。散射非常小 $q$ ,另一方面,感知超出系統有限 大小的大长度 $R$, 结构因子取决于它。下面研究的柔性链作为另一个示例,可以对上述特征进行分析理解。

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Structure Factor of a Flexible Polymer Chain

聚合物结构可以通过散射实验来探测,例如小角度x射线散射 (SAXS) 和小角中子散射 (SANS)。单链的散射 强度与结构因子成正比 $S(\boldsymbol{q})=N^{-1}\left\langle\sum_{n, m}^N e^{-i q \cdot r_{m m}}\right\rangle(9.36)$ , 在哪里 $N$ 是组成聚合物的珠子的数量, 并且 $r n m=r_n-r_m$ 是之间的距离 $n$ 和 $m$ 珠。对向量的方向进行平均 $r n m$ 产量
$$
\left\langle e^{-i q \cdot r_{r_m}}\right\rangle=\frac{1}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} d \varphi \int_{-1}^1 d \cos \theta\left\langle e^{-i \cos \theta q r_{m m} \mid}\right\rangle=\left\langle\frac{\sin (q|\boldsymbol{r} n m|)}{q|\boldsymbol{r} n m|}\right\rangle .
$$
对于小 $q$, 或小散射角 $\theta(q=2 k \sin (\theta / 2) ,$ 图 9.1),
$$
S(\boldsymbol{q})=N^{-1} \sum_{n, m}^N\left\langle\frac{\sin (q|\boldsymbol{r} n m|)}{q|\boldsymbol{r} n m|}\right\rangle \quad \approx N^{-1} \sum_{n, m}^N\left\langle 1-\frac{1}{6} q^2|\boldsymbol{r} n m|^2\right\rangle=N\left(1-\frac{1}{3} q^2 R_G^2\right)
$$
其中回转半径 $R_G$ 被定义为
$$
R_G^2=\frac{1}{2 N^2} \sum n, m^N\left\langle\left(\boldsymbol{r} n-\boldsymbol{r}m\right)^2\right\rangle=\frac{1}{N} \sum n=1^N\left\langle(\boldsymbol{r} n-\boldsymbol{R} c m)^2\right\rangle $$ 表示链大小 $R$ 和 $\boldsymbol{R} \mathrm{cm}$ 是质心位置。因此,从小数据 $q$ 或小角度散射,可以获得有关回转半径的信息。对于 一个链,其中 $r n m$ 以高斯分布, $$ S(\boldsymbol{q})=N^{-1} \sum{n, m}^N\left\langle e^{-i \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{r m}}\right\rangle=N^{-1} \sum n, m^N \exp \left(-\frac{1}{2}\left\langle(\boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{r} n m)^2\right\rangle\right) \quad=N^{-1} \sum n, m^N \exp \left(-\frac{1}{6}\right.
$$

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考

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