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物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|The Free Energy of Polymer Translocation
Consider a flexible polymer of $N$-segments during translocation through a narrow pore in a membrane with $n$ segments on the tran-side and $N-n$ on the cis-side as shown in then Fig. 10.5a. What is the free energy $\mathcal{F}(n ; N)$ required to maintain the chain in this configuration, namely, the free energy of the translocation?
Focusing the chain on the trans side, we consider that $n$ is its primary degree of freedom; integrating over all accessible configurations given $n$ yields the chain free energy $\mathcal{F}(n)$ :
$$
e^{-\beta \mathcal{F}(n)}=\sum_{\boldsymbol{r}} e^{-\beta \mathcal{F}(\boldsymbol{r} / n)}=\int_{x>0} d \boldsymbol{r} P(\boldsymbol{r} ; n),
$$
where $P(\boldsymbol{r} ; n)$ is given by (10.28) and the integration is performed over the position in the half space where $x>0$. The integration yields
$$
\int_o^{\infty} d x\left(2 \pi n l^2 / 3\right)^{-1 / 2} \frac{6 x \epsilon}{n l^2} \exp \left(-\frac{3 x^2}{2 n l^2}\right) \sim n^{-1 / 2} \int_0^{\infty} d \tilde{x} \tilde{x} e^{-3 \tilde{x}^2 / 2} \sim n^{-1 / 2}
$$
where $\tilde{x}=\left(n l^2\right)^{-1 / 2} x$ is a dimensionless coordinate. Consequently, the free energy given by $(10.31)$ is
$$
\mathcal{F}(n)=\frac{1}{2} k_B T \ln n
$$
apart from a irrelevant constant. Considering the chain in the cis side is anchored also at the origin, its free energy is obtained similarly as $\mathcal{F}(N-n)=\frac{1}{2} k_B T \ln (N-n) .$
物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|A Flexible Chain Under External Fields
In many situations a polymer is subject to external forces, confinements, and intra-chain interactions. An important problem is to find the chain conformations and thermodynamic behaviors under such conditions. Due to the chain connectivity a polymer under such constraints manifests many interesting entropic behaviors that are not seen in ordinary particle systems.
We consider an approximation in which each segment can be treated as if it is under an effective external potential, called the self-consistent field, similar to the mean field in the Debye-Hückel theory. A central object to find first is the polymer Green’s function, $G\left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}^{\prime} ; N\right)$, which is the probability density of finding the chain end at the distance $\boldsymbol{r}$ given the initial segment position at $r^{\prime}$. We consider the $N$-step random walk with each step influenced by an effective external potential energy $u$. Given the probability $G\left(\boldsymbol{r}{N-1}, \boldsymbol{r}^{\prime} ; N-1\right)$ for the $N-1$ th step to be at $\boldsymbol{r}{N-1}$, it can jump to $\boldsymbol{r}$ at the $N$ th step with the probability density $p\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}{N-1}\right)$, satisfying the recurrence relation, $$ G\left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}^{\prime} ; N\right)=\int d \boldsymbol{r}{N-1} e^{-\beta u(\boldsymbol{r})} p\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}{N-1}\right) G\left(\boldsymbol{r}{N-1}, \boldsymbol{r}^{\prime} ; N-1\right),
$$
where the $u(\boldsymbol{r})$ is the effective potential energy at $\boldsymbol{r}$.
物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|The Free Energy of Polymer Translocation
考虑一种柔性聚合物 $N$ – 易位期间通过膜中的㹟筞孔的片段 $n$ 在 tran 侧的段和 $N-n$ 在顺式侧，如图 10.5a 所示。什么是自由能 $\mathcal{F}(n ; N)$ 需要保持这种配置的链，即易位的自由能?
将链集中在反式侧，我们认为 $n$ 是它的主要自由度；整合所有给定的可访问配置 $n$ 产生链自由能 $\mathcal{F}(n)$ :
$$
e^{-\beta \mathcal{F}(n)}=\sum_r e^{-\beta \mathcal{F}(r / n)}=\int_{x>0} d \boldsymbol{r} P(r ; n),
$$
在哪里 $P(r ; n)$ 由 (10.28) 给出，积分是在半空间中的位置上执行的 $x>0$. 积分产生
$$
\int_o^{\infty} d x\left(2 \pi n l^2 / 3\right)^{-1 / 2} \frac{6 x \epsilon}{n l^2} \exp \left(-\frac{3 x^2}{2 n l^2}\right) \sim n^{-1 / 2} \int_0^{\infty} d \tilde{x} \tilde{x} e^{-3 \tilde{x}^2 / 2} \sim n^{-1 / 2}
$$
在哪里 $\tilde{x}=\left(n l^2\right)^{-1 / 2} x$ 是无量纲坐标。因此，由下式给出的自由能 $(10.31)$ 是
$$
\mathcal{F}(n)=\frac{1}{2} k_B T \ln n
$$
除了一个不相关的常数。考虑到顺式侧链也锚定在原点，其自由能类似地获得 $\mathcal{F}(N-n)=\frac{1}{2} k_B T \ln (N-n)$
物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|A Flexible Chain Under External Fields
在许多情况下，聚合物会受到外力、限制和链内相互作用的影响。一个重要的问题是找到这种条件下的链构象和热力学行为。由于链的连通性，在这种约束下的聚合物表现出许多在普通粒子系统中看不到的有趣 的樀行为。
我们考虑一个近似值，其中每个片段都可以被视为处于有效的外部电位下，称为自洽场，类似于 DebyeHückel 理论中的平均场。首先要找到的中心对象是聚合物格林函数， $G\left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}^{\prime} ; N\right)$, 即在远处找到链端的概 率密度 $r$ 给定初始段位置 $r^{\prime}$. 我们认为 $N$-step随机游走，每一步都受到有效外部势能的影响 $u$. 给定概率 $G\left(\boldsymbol{r} N-1, \boldsymbol{r}^{\prime} ; N-1\right)$ 为了 $N-1$ 要在的第一个步䟴 $r N-1$ ，可以跳转到 $r$ 在 $N$ 概率密度的步㡜 $p(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r} N-1)$ ，满足递推关系，
$$
G\left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}^{\prime} ; N\right)=\int d \boldsymbol{r} N-1 e^{-\beta u(\boldsymbol{r})} p(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r} N-1) G\left(\boldsymbol{r} N-1, \boldsymbol{r}^{\prime} ; N-1\right),
$$
在哪里 $u(r)$ 是有效势能 $r$.
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