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物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Energy Transfer in Relative Systems

Since the rotor operates in a relative frame of reference (relative system), the energy conversion mechanism is quite different from that of a stator (absolute system). A fluid particle that moves with a relative velocity $W$ within the relative system that rotates with the angular velocity $\boldsymbol{\omega}$ has an absolute velocity:
$$
V=W+\omega \times R=W+U, \omega \times R=U
$$

with $\boldsymbol{R}$ in Eq. (5.117) as the radius vector of the particle in the relative system. Introducing the absolute velocity vector $V$ in the equation of motion and multiplying the results with a relative differential displacement $d R$, we obtain the energy equation for an adiabatic steady flow within a rotating relative system:
$$
d\left(h+\frac{1}{2} W^2-\frac{\omega^2 R^2}{2}+g z\right)=0
$$
or the relative total enthalpy:
$$
H_r=h+\frac{1}{2} W^2-\frac{\omega^2 R^2}{2}+g z=\text { const. }
$$
Negglecting thẽ gravitational term, $g z \approx 0$, Eq. (5.122) cãn be writteñ âs:
$$
h_1+\frac{1}{2} W_1^2-\frac{1}{2} U_1^2=h_2+\frac{1}{2} W_2^2-\frac{1}{2} U_2^2
$$
Equation (5.120) is the energy equation transformed into a relative system. As can be seen, the transformation of kinetic energy undergoes a change while the transformation of static enthalpy is frame indifferent. With these equations in connection with the energy balance, we can analyze the energy transfer within an arbitrary turbine or compressor stage.

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Unified Treatment of Turbine and Compressor Stages

In this chapter, compressor and turbine stages are treated from a unified physical point of view. Figures $5.19$ and $5.20$ show the decomposition of a turbine and a compressor stage into their stator and rotor rows. The primes ” $”$ ” and ” $” / \prime \prime$ refer to stator and rotor rows, respectively. As seen, the difference between the isentropic and the polytropic enthalpy difference is expressed in terms of dissipation $\Delta h_d^{\prime}=$ $\Delta h_s^{\prime}-\Delta h^{\prime}$ for turbines and $\Delta h_d^{\prime}=\Delta h^{\prime}-\Delta h_s^{\prime}$ for compressors. For the stator, the energy balance requires that $H_2=H_1$. This leads to:
$$
h_1-h_1=\Delta h^{\prime}=\frac{1}{2}\left(V_2^2-V_1^2\right)
$$
Moving to the relative frame of reference, the relative total enthalpy $H_{r 2}=H_{r 3}$ remains constant. Thus, the energy equation for the rotor is according to Fig. 5.20:
$$
h_2-h_3=\Delta h^{\prime \prime}=\frac{1}{2}\left(W_3^2-W_2^2+U_2^2-U_3^2\right)
$$
The stage specific shaft power balance requires:
$$
1_m=H_1-H_3=\left(h_1-h_2\right)-\left(h_3-h_2\right)+\frac{1}{2}\left(V_1^2-V_3^2\right) .
$$
Insërting Eq̣s. (5.121) and (5.122) intō Eq. (5.123) yiêlds :
$$
1_m=\frac{1}{2}\left[\left(V_2^2-V_3^2\right)+\left(W_3^2-W_2^2\right)+\left(U_2^2-U_3^2\right)\right] .
$$

Equation (5.124), known as the Euler Turbine Equation, indicates that the stage work can be expressed simply in terms of absolute, relative, and rotational kinetic energies. This equation is equally applicable to turbine stages that generate shaft power and to compressor stages that consume one. In the case of a turbine stage, the sign of the specific mechanical energy $l_m$ is negative, which indicates that energy is removed from the system (power generation). In compressor cases, it is positive because energy is added to the system (power consumption). Figures $5.21$ and $5.22$ show the stage configuration, the velocity diagram and the expansion, compression process within a single stage turbine and compressor.

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|CIVL3612

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Energy Transfer in Relative Systems

由于转子在相对参考系 (相对系统) 中运行,因此能量转换机制与定子 (绝对系统) 的能量转换机制完全 不同。以相对速度运动的流体粒子 $W$ 在以角速度旋转的相对系珫内 $\omega$ 有一个绝对速度:
$$
V=W+\omega \times R=W+U, \omega \times R=U
$$
和 $\boldsymbol{R}$ 在等式。(5.117) 作为粒子在相对系统中的半径向量。引入绝对速度矢量 $V$ 在运动方程中并将结果乘以
$$
d\left(h+\frac{1}{2} W^2-\frac{\omega^2 R^2}{2}+g z\right)=0
$$
或相对总焓:
$$
H_r=h+\frac{1}{2} W^2-\frac{\omega^2 R^2}{2}+g z=\text { const. }
$$
忽略万有引力项, $g z \approx 0$, 方程。(5.122) 可以写成:
$$
h_1+\frac{1}{2} W_1^2-\frac{1}{2} U_1^2=h_2+\frac{1}{2} W_2^2-\frac{1}{2} U_2^2
$$
方程 (5.120) 是将能量方程转换为相对系统。可以看出,动能的转变发生了变化,而静焓的转变是框架无关的。通过这些与能量平衡相关的方程,我们可以分析任意涡轮或压缩机级内的能量传递。

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Unified Treatment of Turbine and Compressor Stages

在本章中,压气机和浴轮级是从一个统一的物理角度来处理的。数字 $5.19$ 和 $5.20$ 显示涡轮机和压缩机级分
解成它们的定子和转子排。素数“”“和 “” /11分别指定子和转子排。如图所示,等樀和多樀焒差之间的差异 用耗散表示 $\Delta h_d^{\prime}=\Delta h_s^{\prime}-\Delta h^{\prime}$ 用于涡轮机和 $\Delta h_d^{\prime}=\Delta h^{\prime}-\Delta h_s^{\prime}$ 用于压缩机。对于定子,能量平衡要 求 $H_2=H_1$. 这将导致:
$$
h_1-h_1=\Delta h^{\prime}=\frac{1}{2}\left(V_2^2-V_1^2\right)
$$
移动到相对参考系,相对总烙 $H_{r 2}=H_{r 3}$ 保持不变。因此,转子的能量方程如图 $5.20$ 所示:
$$
h_2-h_3=\Delta h^{\prime \prime}=\frac{1}{2}\left(W_3^2-W_2^2+U_2^2-U_3^2\right)
$$
特定阶段的轴功率平衡要求:
$$
1_m=H_1-H_3=\left(h_1-h_2\right)-\left(h_3-h_2\right)+\frac{1}{2}\left(V_1^2-V_3^2\right) .
$$
揷入 Eqs。(5.121) 和 (5.122) 到等式。(5.123) 产量:
$$
1_m=\frac{1}{2}\left[\left(V_2^2-V_3^2\right)+\left(W_3^2-W_2^2\right)+\left(U_2^2-U_3^2\right)\right] .
$$
方程 (5.124),称为欧拉涡轮方程,表明舞台功可以简单地用绝对动能、相对动能和旋转动能来表示。该等 式同样适用于产生轴功率的浴轮级和消耗功率的压缩机级。在汃轮级的情况下,特定机械能的符号 $l_m$ 为负 数,表示能量从系统中移除 (发电) 。在压缩机情况下,这是积极的,因为能量被添加到系统中 (功 耗) 。数字 $5.21$ 和 $5.22$ 显示了单级浻轮和压缩机内的级配置、速度图和膨胀、压缩过程。

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考

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