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物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Introduction to Neutron Scattering
Radioactive decay produces high-energy neutrons. Here we will be concerned with thermal neutrons (i.e. neutrons that have diffused around inside a solid long enough to come to thermal equilibrium with it). These low-energy neutrons can be made mono-energetic by using a crystal as a 3D Bragg diffraction grating (to select a single momentum, much as in X-ray scattering). This mono-energetic beam can then be scattered from a sample and the resulting energy and momentum transfer analyzed very accurately [24]. Hence one can measure the spectrum of lattice and electronic excitations in a solid much more precisely than with X-rays. Crudely speaking, since the speed of thermal neutrons is comparable to the speed of atoms vibrating in the sample, we cannot make the approximation of neglecting atomic motion during the scattering event (as we did for the case of $\mathrm{X}$-ray scattering). ${ }^2$
More precisely, the very good energy resolution available with neutrons means that the neutron wave packets are long and take many vibrational periods to pass by any given atom. As a result, motion of the atom (either classical or quantum mechanical) has significant effects on the scattering process. Hence we must develop a theory of the dynamical correlations being probed by the neutrons. This is quite different from the X-ray scattering, which takes a “snapshot” of the instantaneous configuration of the atoms, and is not sensitive to the dynamics. The source of the difference lies in the energy and, in particular, the energy resolution of the different probes, as we will discuss in more detail later.
Neutrons, like X-rays, interact only weakly, and hence have great penetration depths. They therefore undergo bulk diffraction but will give an appreciable signal only if large enough samples can be obtained. A microscopic crystallite will not suffice! Neutrons, being electrically neutral, interact primarily with the nuclei (via the strong force) and to a much lesser extent with the magnetic moments of the electrons. If a neutron experiences a magnetic interaction which causes its spin to flip, the scattering is called incoherent, because diffraction does not occur in this case. The reason is the following: in principle, we can look back in the sample and see which nucleus or electron had its spin flipped by the neutron. Thus we know where in the crystal the neutron scattered. The situation is very much like what happens in the famous two-slit diffraction experiment. When detectors are inserted to see which slit the particle went through, the interference pattern is destroyed. Crystal diffraction comes from not knowing which atom does the scattering so that we have a coherent superposition of all possibilities,
$$
F(\vec{q})=f(\vec{q}) \sum_j e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}_j}
$$
物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Inelastic Neutron Scattering
The total Hamiltonian describing the system being studied and the neutron used to probe it is
$$
H_{\mathrm{tot}}=H_{\mathrm{n}}+H+H_{\text {int }},
$$
where $H$ is the Hamiltonian of the system, $H_{\mathrm{n}}=P_{\mathrm{n}}^2 / 2 M_{\mathrm{n}}$ is the neutron kinetic energy, and $H_{\text {int }}$ describes the interaction (to be specified later) between the neutron and the system.
Let the initial state of the neutron plus crystal system be
$$
\Psi_i(\vec{R},{\vec{r}})=\psi_{\vec{p}}(\vec{R}) \Phi_i({\vec{r}}),
$$
where $\vec{R}$ is the neutron coordinate and ${\vec{r}}$ stands for $\left(\vec{r}1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_N\right)$, the set of nuclear coordinates (atom positions). For simplicity we will focus mostly on the case of lattice vibrations and hence ignore the nuclear and electronic spin degrees of freedom; our results, however, are quite general (and apply to liquid states), and can be generalized to spin-dependent interactions straightforwardly (see Exercise 4.2). We assume that the only effect of the electrons is to produce chemical bonds, which give the effective Hamiltonian for the atoms a potential-energy term $V\left(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_N\right)$. We otherwise ignore the electrons insofar as degrees of freedom are concerned. We take the initial state of the neutron to be a plane wave, $$ \psi{\vec{p}}(\vec{R})=\frac{1}{\sqrt{L^3}} e^{i \vec{p} \cdot \vec{R}},
$$
and the initial energy to be the neutron kinetic energy plus the initial crystal energy:
$$
\mathcal{E}i=\frac{\hbar^2 p^2}{2 M{\mathrm{n}}}+E_i .
$$
After the scattering, the final state is
$$
\Psi_f=\psi_{\vec{p}^{\prime}}(\vec{R}) \Phi_f({\vec{r}}),
$$
with energy
$$
\mathcal{E}f=\frac{\hbar^2 p^{\prime 2}}{2 M{\mathrm{n}}}+E_f .
$$
We note that the $E_{i, f}$ are eigenvalues of the system (or crystal) Hamiltonian $H$.
物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Introduction to Neutron Scattering
放射性諮变产生高能中子。在这里，我们将关注热中子（即在固体内部扩散足够长的时间以与其达到热平 衡的中子)。这些低能中子可以通过使用晶体作为 3D 布拉格衍射光栅（选择单个动量，就像在 X射线散 射中一样) 来制成单能中子。然后可以从样品中散射这种单能光束，并非常准确地分析由此产生的能量和 动量传递 [24]。因此，人们可以比 X射线更精确地测量固体中的晶格和电子激发光谱。粗略地说，由于热 中子的速度与样品中原子振动的速度相当， $\mathrm{X}$-射线散射) 。²
更准确地说，中子可获得的非常好的能量分辨率意味着中子波包很长，并且需要许多振动周期才能通过任 何给定的原子。因此，原子的运动（经典或量子力学) 对散射过程有显着影响。因此，我们必须发展一种 中子所探测的动力学相关性理论。这与 X射线散射完全不同，后者对原子的瞬时构型进行”快照”，并且对 动力学不敏感。差异的根源在于能量，特别是不同探针的能量分辨率，我们将在后面更详细地讨论。
中子与 X射线一样，相互作用很弱，因此具有很大的穿透深度。因此，它们会经历体衍射，但只有在可以 获得足够大的样本时才会给出明显的信号。微观微晶是不够的！中子是电中性的，主要与原子核相互作用 (通过强力)，在较小程度上与电子的磁矩相互作用。如果中子经历了导致其自旋觔转的磁相互作用，则 称为非相干散射，因为在这种情况下不会发生衍射。原因如下：原则上，我们可以回顾样品，看看哪个原 子核或电子的自旋被中子鼼转了。因此，我们知道中子在晶体中的何处散射。这种情况很像著名的双缝衍 射实验中发生的情况。当揷入探测器以查看粒子穿过哪个狭缝时，干涉图案被破坏。晶体衍射来自于不知 道哪个原子进行散射，因此我们拥有所有可能性的连贯疍加，
$$
F(\vec{q})=f(\vec{q}) \sum_j e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}_j}
$$
物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Inelastic Neutron Scattering
描述正在研究的系统和用于探测它的中子的总哈密顿量是
$$
H_{\text {tot }}=H_{\mathrm{n}}+H+H_{\text {int }},
$$
在哪里 $H$ 是系統的哈密顿量， $H_{\mathrm{n}}=P_{\mathrm{n}}^2 / 2 M_{\mathrm{n}}$ 是中子动能，和 $H_{\text {int }}$ 描述了中子和系统之间的相互作用 (稍后会详细说明)。
设中子加晶系的初始状态为
$$
\Psi_i(\vec{R}, \vec{r})=\psi_{\vec{p}}(\vec{R}) \Phi_i(\vec{r}),
$$
在哪里 $\vec{R}$ 是中子坐标和 $\vec{r}$ 代表 $\left(\vec{r} 1, \vec{r}2, \ldots, \vec{r}_N\right)$ ，一组核坐标 (原子位置)。为简单起见，我们将主要关注 晶格振动的情况，因此忽略核和电子自旋自由度；然而，我们的结果非常普遍（适用于液态），并且可以 直接推广到自旋相关的相互作用（参见拣习 4.2）。我们假设电子的唯一作用是产生化学键，这给原子的 有效哈密顿量一个势能项 $V\left(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_N\right)$. 否则，就自由度而言，我们忽略电子。我们将中子的初始状 态视为平面波， $$ \psi \vec{p}(\vec{R})=\frac{1}{\sqrt{L^3}} e^{i \vec{p} \cdot \vec{R}} $$ 初始能量为中子动能加上初始晶体能量: $$ \mathcal{E} i=\frac{\hbar^2 p^2}{2 M \mathrm{n}}+E_i . $$ 散射后的最終状态是 $$ \Psi_f=\psi{\vec{p}^{\prime}}(\vec{R}) \Phi_f(\vec{r}),
$$
充满活力
$$
\mathcal{E} f=\frac{\hbar^2 p^{\prime 2}}{2 M \mathrm{n}}+E_f .
$$
我们注意到， $E_{i, f}$ 是系统 (或晶体) 哈密顿量的特征值 $H$.
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