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物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|X-Ray Scattering from Crystals
We saw previously that, in the Born approximation, the X-ray scattering amplitude is proportional to the Fourier transform of the electron density at a wave vector $\vec{q}$ determined by the scattering angle: $\vec{k}{\text {final }}=\vec{k}{\text {initial }}+\vec{q}$. With our new knowledge about the reciprocal lattice we can see that it will play a central role in X-ray scattering structural determinations. If we assume zero temperature and classical atoms so that quantum (zero-point) and thermal fluctuations can be neglected, the electron density clearly has the periodicity of the lattice. Suppose we write it in the form
$$
\rho(\vec{r})=\sum_i \rho_{\mathrm{a}}\left(\vec{r}-\vec{R}_i\right),
$$
where the sum is over sites of the underlying Bravais lattice and $\rho_{\mathrm{a}}$ is the atomic electron density (in the crystalline environment). Let $F(\vec{q})$ be the X-ray form factor for the crystal,
$$
F(\vec{q})=\int d^3 \vec{r} e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}} \sum_i \rho_{\mathrm{a}}\left(\vec{r}-\vec{R}i\right) . $$ It is easily seen that $$ F(\vec{q})=W(\vec{q}) f(\vec{q}), $$ where $$ W(\vec{q}) \equiv \sum_i e^{-i \vec{q} \cdot \vec{R}_i} $$ is the lattice form factor introduced in Chapter 2. As we show below, in a periodic crystal $W$ has the property that, if $\vec{q}$ is not an element of the reciprocal lattice, then $W$ vanishes. If $\vec{q}=\vec{G}$ then $e^{-i \vec{G} \cdot \vec{R}_i}=1$, which implies that $W$ diverges. We can see this by writing the lattice sum explicitly, $$ W(\vec{q})=\sum{\ell, m, n} e^{-i \vec{q} \cdot\left(\ell \vec{a}1+m \vec{a}_2+n \vec{a}_3\right)}=N \sum{{\vec{G}]} \delta_{\vec{q}, \vec{G}},
$$
or using the Poisson summation formula (see Appendix B) to obtain
$$
\begin{aligned}
W(\vec{q}) &=\sum_{\text {K,L,M }}(2 \pi)^3 \delta\left(2 \pi K-\vec{q} \cdot \vec{a}1\right) \delta\left(2 \pi L-\vec{q} \cdot \vec{a}_2\right) \delta\left(2 \pi M-\vec{q} \cdot \vec{a}_3\right) \ &=\frac{1}{|\omega|} \sum{{\vec{G}}}(2 \pi)^3 \delta^3(\vec{q}-\vec{G})
\end{aligned}
$$
物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Effects of Lattice Fluctuations on X-Ray Scattering
Up until this point we have been assuming that the atoms are precisely located on the points of a perfect lattice. Using this assumption we found infinitely sharp diffraction beams characterized by $\vec{q}=\vec{G}$. Even neglecting lattice defects, we have been ignoring the effects of:
(1) finite temperature;
(2) quantum zero-point motion;
(3) dynamies (time-dependence).
There was a great debate early in the twentieth century about whether or not X-ray diffraction could ever be observed at finite temperatures (quantum fluctuations were unknown at the time). It was argued that at room temperature all the atoms would be randomly displaced by at least a small amount from their nominal lattice positions and this would totally destroy the diffraction pattern. This argument turns out to be incorrect, however, as we show in the following classical argument. (The full quantum derivation will be given later.)
Let us assume that thermal fluctuations cause
$$
\vec{r}_j=\vec{R}_j+\vec{u}_j,
$$
where $\vec{u}j$ is the displacement of the $j$ th atom from its nominal lattice position $\vec{R}_j$. Let us further assume that the time-dependence of $\vec{u}_j$ can be neglected. This is typically a good approximation for X-ray scattering, where the energy resolution $\Delta \epsilon$ is so poor that the atomic vibration periods are much longer than the corresponding temporal resolution given by the Heisenberg uncertainty relation, $\hbar / \Delta \epsilon$ In the presence of fluctuations, the lattice structure factor becomes $$ W(\vec{q})=\sum_i e^{-i \vec{q} \cdot\left(\vec{R}_i+\vec{u}_i\right)} . $$ The scattered intensity is proportional to the square of this quantity: $$ \left.I_L(\vec{q})=N S(\vec{q})=\left\langle|W(\vec{q})|^2\right\rangle\right\rangle=\sum{i, j} e^{i \vec{q} \cdot\left(\vec{R}_i-\vec{R}_j\right)}\left\langle\left\langle e^{i \vec{q} \cdot\left(\vec{u}_i-\vec{u}_j\right)}\right\rangle\right\rangle,
$$
where $\langle\langle\cdot\rangle\rangle$ indicates the thermal expectation value. ${ }^{22}$
Thermal averaged quantities are perfectly translation-invariant (i.e. have the symmetry of the lattice), so we can take $\vec{R}_i=\overrightarrow{0}$ and multiply by a factor of $N$ :
$$
I_L(\vec{q})=N \sum_j e^{-i \vec{q} \cdot \vec{R}_j}\left\langle\left\langle e^{i \vec{q} \cdot\left(\vec{u}_0-\vec{u}_j\right)}\right\rangle .\right.
$$
物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|X-Ray Scattering from Crystals
我们之前看到，在玻恩近似中，X射线散射幅序与波矢量处电子密庴的傅里叶变换成正比 $\vec{q}$ 由散射角决 定: $\vec{k}$ final $=\vec{k}$ initial $+\vec{q}$. 凭借㧴们对倒易晶格的新知识，我们可以看到它将在 X射线散射结构测定中 发挥核心作用。如果我们假设零温度和经典原子，从而可以忽略量子 (零点) 和热涨落，那么电子密度显 然具有晶格的周期性。假设涐们把它写成形式
$$
\rho(\vec{r})=\sum_i \rho_{\mathrm{a}}\left(\vec{r}-\vec{R}i\right), $$ 其中总和超过了底层 Bravais 晶格的位点，并且 $\rho{\mathrm{a}}$ 是原子电子密度（在结晶环境中）。让 $F(\vec{q})$ 是晶体的 $\mathrm{X}$ 射线形状因子，
$$
F(\vec{q})=\int d^3 \vec{r} e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}} \sum_i \rho_{\mathrm{a}}(\vec{r}-\vec{R} i)
$$
很容易看出
$$
F(\vec{q})=W(\vec{q}) f(\vec{q}),
$$
在哪里
$$
W(\vec{q}) \equiv \sum_i e^{-i \vec{q} \cdot \vec{R}i} $$ 是第 2 章中介绍的晶格形状因子。如下所示，在周期性晶体中 $W$ 有这样的性质，如果 $\vec{q}$ 不是倒易格的元 素，则 $W$ 消失。如果 $\vec{q}=\vec{G}$ 然后 $e^{-i \vec{G} \cdot \vec{R}_i}=1$ ，这意味着 $W$ 分歧。我们可以通过明确写出格和来看到这一 orusingthePoissonsummation formula(seeAppendix $B$ ) toobtain $$ W(\vec{q})=\sum{K, \mathrm{~L}, \mathrm{M}}(2 \pi)^3 \delta(2 \pi K-\vec{q} \cdot \vec{a} 1) \delta\left(2 \pi L-\vec{q} \cdot \vec{a}_2\right) \delta\left(2 \pi M-\vec{q} \cdot \vec{a}_3\right) \quad=\frac{1}{|\omega|} \sum \vec{G}(2 \pi)^3 \delta^3(\vec{q}-\vec{G})
$$
物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Effects of Lattice Fluctuations on X-Ray Scattering
到目前为止，我们一直假设原子精确地位于完美晶格的点上。使用这个假设，我们发现了无限尖锐的衍射 光束，其特征是 $\vec{q}=\vec{G}$. 即使忽略晶格缺陷，我们也一直忽略以下影响:
(1) 有限温度；
(2) 量子零点运动;
(3) 动态 (时间(依赖性)。
在 20 世纪初，关于在有限温度下是否可以观察到 $X$ 射线衍射 (当时还不知道量子涨落) ，曾有过一场激 烈的争论。有人认为，在室温下，所有原子都会从它们的标称晶格位置随机位移至少一小部分，这将完全 破坏衍射图案。然而，这个论点被证明是不正确的，正如我们在下面的经典论点中所展示的那样。（完整 的量子推导将在后面给出。)
让我们假设热涨落导致
$$
\vec{r}_j=\vec{R}_j+\vec{u}_j,
$$
在哪里 $\vec{u} j$ 是位移 $j$ th 原子从其标称晶格位置 $\vec{R}_j$. 让我们进一步假设 $\vec{u}_j$ 可以忽略不计。这通常是 $\mathrm{X}$ 射线散射 的一个很好的近似值，其中能量分辨率 $\Delta \epsilon$ 太差以至于原子振动周期比海森堡不确定关系给出的相应时间分 辨率长得多， $\hbar / \Delta \epsilon$ 在存在波动的情况下，晶格结构因子变为
$$
W(\vec{q})=\sum_i e^{-i \vec{q} \cdot\left(\vec{R}_i+\vec{u}_i\right)} .
$$
散射强度与这个量的平方成正比:
$$
\left.\left.I_L(\vec{q})=N S(\vec{q})=\left\langle|W(\vec{q})|^2\right\rangle\right\rangle=\sum i, j e^{i \cdot \cdot\left(\vec{R}_i-\vec{R}_j\right.}\right)\left\langle\left\langle e^{i \vec{q} \cdot\left(\vec{u}_i-\vec{u}_j\right)}\right\rangle\right\rangle,
$$
在哪里 $\langle\langle\cdot\rangle\rangle$ 表示热期望值。 ${ }^{22}$
热平均量是完全平移不变的 (即具有晶格的对称性) ，所以我们可以取 $\vec{R}_i=\overrightarrow{0}$ 并乘以一个因子 $N$ :
$$
I_L(\vec{q})=N \sum_j e^{-i \vec{q} \cdot \vec{R}_j}\left\langle\left\langle e^{i \vec{q} \cdot\left(\vec{u}_0-\vec{u}_j\right)}\right\rangle .\right.
$$
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