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物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Dynamical Structure Factor and f -Sum Rule
The dynamical structure factor $S(\vec{q}, \omega)$ has two interpretations. First it can be viewed as a measure of the dynamical correlations in the ground (or, at finite $T$, the equilibrium) state. Namely, it is the mean square value of the density fluctuations of wave vector $\vec{q}$ and frequency $\omega$. Secondly, as we shall see below, $(1 / 2 \pi \hbar) S(\vec{q}, \omega)$ is the density of excited states at wave vector $\vec{q}$ created by the density operator. We have
$$
S(\vec{q}, \omega)=\frac{1}{N} \int_{-\infty}^{\infty} d t e^{i \omega t} \sum_{j, k=1}^N\left\langle\left\langle e^{i \vec{q} \cdot \vec{r}j(t)} e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}_k(0)}\right\rangle\right\rangle, $$ which is simply the Fourier transform of the density-density correlation, since $$ \hat{\rho}{\vec{q}}(t)=\int d^3 \vec{r} e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}} \sum_{j=1}^N \delta^3\left[\vec{r}-\vec{r}j(t)\right]=\int d^3 \vec{r} e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}} \hat{\rho}(\vec{r}, t) . $$ Thus $$ S(\vec{q}, \omega)=\int{-\infty}^{+\infty} d t e^{i \omega t} \Pi(\vec{q}, t),
$$
where
$$
\Pi(\vec{q}, t) \equiv \frac{1}{N}\left\langle\left\langle\hat{\rho}{-\vec{q}}(t) \hat{\rho}{+\vec{q}}(0)\right\rangle\right\rangle .
$$
We can interpret the expression as telling us that the density waves in a crystal act as moving diffraction gratings that scatter and Doppler shift the neutron.
Notice from the definition of the density operator that the effect of $\rho_{+\vec{q}}$ is to boost the momentum of one of the particles (we do not know which one) by $-\hbar \vec{q}$, corresponding to the fact that the neutron has acquired momentum $+\hbar \vec{q}$. We can thus also think of $S(\vec{q}, \omega)$ as the spectral density of excited states that couple to the initial state through the density operator:
$$
\begin{aligned}
&S(\vec{q}, \omega)=\frac{1}{Z} \sum_i e^{-\beta E_i} S_i(\vec{q}, \omega) \
&S_i(\vec{q}, \omega)=\frac{1}{N} \sum_f\left|\left\langle i\left|\rho_{\vec{q}}\right| f\right\rangle\right|^2 2 \pi \delta\left[\omega-\left(E_f-E_i\right) / \hbar\right] .
\end{aligned}
$$
物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Classical Harmonic Oscillator
It is useful as a warm-up exercise to consider a single classical particle in a 1D harmonic oscillator potential. The Hamiltonian is
$$
H=\frac{P^2}{2 M}+\frac{1}{2} M \Omega^2 X^2
$$
and we would like to compute
$$
\left.\Pi(q, t) \equiv\left\langle e^{i q X(t)} e^{-i q X(0)}\right\rangle\right\rangle .
$$
The system is classical, so the time evolution is entirely determined by the initial values of position $X(0) \equiv X_0$ and momentum $P(0) \equiv P_0$. We have the exact solution of the classical equations of motion,
$$
X(t)=X_0 \cos (\Omega t)+\frac{P_0}{M \Omega} \sin (\Omega t),
$$
which is easily seen to obey the initial conditions. Thus
$$
\Pi(q, t)=\left\langle\left\langle e^{i q[\cos (\Omega t)-1] X_0} e^{i \frac{q}{M \Omega} \sin (\Omega t) P_0}\right\rangle\right\rangle .
$$
Now, in a classical system $X_0$ and $P_0$ are independent random variables given by the Boltzmann probability distribution
$$
P\left(X_0, P_0\right)=\frac{1}{Z} e^{-\beta\left(\frac{P_0^2}{2 M}+\frac{1}{2} M \Omega^2 X_0^2\right)},
$$
where
$$
Z \equiv \frac{1}{h} \int d X_0 \int d P_0 e^{-\beta\left(\frac{P_0^2}{2 M}+\frac{1}{2} M \Omega^2 X_0^2\right)} .
$$
(Recall that $Z$ is dimensionless, so we need a factor of $1 / h$, which is the “area” of a quantum state in phase space. The necessity of this factor was one of the important mysteries of classical physics which was later resolved by the discovery of quantum mechanics.)
Let us return to our original definition of $\Pi(q, t)$ in Eq. (4.69) and make an expansion in powers of $q$ :
$$
\begin{aligned}
\Pi(q, t)=& 1+i q[\langle\langle X(t)\rangle-\langle\langle X(0)\rangle\rangle]\
&-\frac{1}{2} q^2\left[\left\langle\left\langle X(t)^2\right\rangle\right\rangle+\left\langle\left\langle X(0)^2\right\rangle\right\rangle\right] \
&\left.+q^2[\langle X(t) X(0)\rangle\rangle\right]+\cdots .
\end{aligned}
$$
物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Dynamical Structure Factor and f -Sum Rule
动力结构因子 $S(\vec{q}, \omega)$ 有两种解释。首先，它可以被视为对地面动态相关性的度量（或者，在有限的 $T$ ，平 衡) 状态。即波矢密度涨落的均方值 $\vec{q}$ 和频率 $\omega$. 其次，正如我们将在下面看到的， $(1 / 2 \pi \hbar) S(\vec{q}, \omega)$ 是波矢 量处的激发态密度 $\vec{q}$ 由密度算子创建。我们有
$$
S(\vec{q}, \omega)=\frac{1}{N} \int_{-\infty}^{\infty} d t e^{i \omega t} \sum_{j, k=1}^N\left\langle\left\langle e^{i \vec{q} \cdot \vec{r} j(t)} e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}k(0)}\right\rangle\right\rangle, $$ 这只是密度-密度相关性的傅里叶变换，因为 $$ \hat{\rho} \vec{q}(t)=\int d^3 \vec{r} e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}} \sum{j=1}^N \delta^3[\vec{r}-\vec{r} j(t)]=\int d^3 \vec{r} e^{-i \vec{q} \cdot \vec{r}} \hat{\rho}(\vec{r}, t) .
$$
因此
$$
S(\vec{q}, \omega)=\int-\infty^{+\infty} d t e^{i \omega t} \Pi(\vec{q}, t)
$$
在哪里
$$
\Pi(\vec{q}, t) \equiv \frac{1}{N}\langle\langle\hat{\rho}-\vec{q}(t) \hat{\rho}+\vec{q}(0)\rangle\rangle .
$$
我们可以将表达式解释为告诉我们晶体中的密度波充当移动衍射光栅，散射和多普勒移动中子。
从密度算子的定义中注意到， $\rho_{+\vec{q}}$ 是通过以下方式提高其中一个粒子 (我们不知道是哪一个) 的动量 $-\hbar \vec{q}$
，对应于中子获得动量的事实 $+\hbar \vec{q}$. 因此我们也可以想到 $S(\vec{q}, \omega)$ 作为通过密度算子耦合到初始状态的激发 态的谱密度：
$$
S(\vec{q}, \omega)=\frac{1}{Z} \sum_i e^{-\beta E_i} S_i(\vec{q}, \omega) \quad S_i(\vec{q}, \omega)=\frac{1}{N} \sum_f\left|\left\langle i\left|\rho_{\vec{q}}\right| f\right\rangle\right|^2 2 \pi \delta\left[\omega-\left(E_f-E_i\right) / \hbar\right] .
$$
物理代写|凝聚态物理代写condensed matter physics代考|Classical Harmonic Oscillator
考虑一维谐振子势中的单个经典粒子作为热身练习很有用。哈密顿量是
$$
H=\frac{P^2}{2 M}+\frac{1}{2} M \Omega^2 X^2
$$
我们想计算
$$
\left.\Pi(q, t) \equiv\left\langle e^{i q X(t)} e^{-i q X(0)}\right\rangle\right\rangle
$$
该系统是经典的，因此时间演化完全由位置的初始值决定 $X(0) \equiv X_0$ 和势头 $P(0) \equiv P_0$. 我们有经典运动 方程的精确解，
$$
X(t)=X_0 \cos (\Omega t)+\frac{P_0}{M \Omega} \sin (\Omega t)
$$
很容易看出它服从初始条件。因此
$$
\Pi(q, t)=\left\langle\left\langle e^{i q[\cos (\Omega t)-1] X_0} e^{i \frac{q}{M \Omega} \sin (\Omega t) P_0}\right\rangle\right\rangle .
$$
现在，在经典系统中 $X_0$ 和 $P_0$ 是由玻尔兹曼概率分布给出的独立随机变量
$$
P\left(X_0, P_0\right)=\frac{1}{Z} e^{-\beta\left(\frac{P_0^2}{2 M}+\frac{1}{2} M \Omega^2 X_0^2\right)},
$$
在哪里
$$
Z \equiv \frac{1}{h} \int d X_0 \int d P_0 e^{-\beta\left(\frac{p_0^2}{2 M}+\frac{1}{2} M \Omega^2 X_0^2\right)} .
$$
(回顾 $Z$ 是无量纲的，所以我们需要一个因子 $1 / h$ ，它是相空间中量子态的“面积”。这个因素的必要性是经 典物理学的重要谜团之一，后来被量子力学的发现解决了。)
让我们回到我们最初的定义 $\Pi(q, t)$ 在等式。(4.69) 并扩大 $q$ :
$$
\Pi(q, t)=1+i q\left[\langle\langle X(t)\rangle-\langle\langle X(0)\rangle\rangle] \quad-\frac{1}{2} q^2\left[\left\langle\left\langle X(t)^2\right\rangle\right\rangle+\left\langle\left\langle X(0)^2\right\rangle\right\rangle\right]+q^2[\langle X(t) X(0)\rangle\rangle\right]+\cdots .
$$
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