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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Internal energy
For the average internal energy $U$, there is no need to split off the ground state from the sum in Eq. (5.73), because the state with $E=0$ does not contribute to the energy, and we have from Eq. (5.74), $U=\left(3 g V k T /\left(2 \lambda_T^3\right) G_{5 / 2}(z)\right.$. We must still distinguish, however, the two cases for $T>T_B$ and $TT_B \ G_{5 / 2}(1) & TT_B \ \left(\frac{T}{T_B}\right)^{3 / 2} \frac{\zeta(5 / 2)}{\zeta(3 / 2)} & TT_B$ and $n \lambda_{T_B}^3=\zeta(3 / 2)$ for $T \leq T_B$. Note that for $T>T_B$, the energy is that of the classical ideal gas, $\frac{3}{2} N k T$, multiplied by $G_{5 / 2}(z) / G_{3 / 2}(z)$. For $T<T_B$, the energy is in the form $U=\frac{3}{2} N_{\mathrm{ex}} k T \zeta(5 / 2) / \zeta(3 / 2)$, where $N_{\mathrm{ex}}$ is defined in Eq. (5.158). Particles condensed in the ground state have zero energy; only particles in excited states contribute to the energy of the gas for $T<T_B$.
We can use Eq. (B.28) (an expansion of $G_{5 / 2}$ in terms of $G_{3 / 2}$ ) to eliminate reference to the fugacity in Eq. (5.163),
$$
\frac{G_{5 / 2}(z)}{G_{3 / 2}(z)}=1-0.1768 G_{3 / 2}(z)-0.0033 G_{3 / 2}^2(z)-0.00011 G_{3 / 2}^3(z)-\cdots,
$$ and thus, using $G_{3 / 2}(z)=\zeta(3 / 2)\left(T_B / T\right)^{3 / 2}$, we have from Eq. (5.163),
$$
U=\frac{3}{2} N k T\left{\begin{array}{lr}
{\left[1-0.4618\left(\frac{T_B}{T}\right)^{3 / 2}-0.0225\left(\frac{T_B}{T}\right)^3-0.0020\left(\frac{T_B}{T}\right)^{9 / 2}-\cdots\right]} & T>T_B \
\frac{\zeta(5 / 2)}{\zeta(3 / 2)}\left(\frac{T}{T_B}\right)^{3 / 2} & T<T_B
\end{array}\right.
$$
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|THE MAYER CLUSTER EXPANSION
Consider $N$ identical particles of mass $m$ that interact through two-body interactions, $v_{i j}$, with Hamiltonian
$$
H=\frac{1}{2 m} \sum_i p_i^2+\sum_{j>i} v_{i j}, \quad(i, j=1,2, \cdots, N)
$$
where $v_{i j} \equiv v\left(\boldsymbol{r}i-\boldsymbol{r}_j\right)$ denotes the potential energy associated with the interaction between particles at positions $\boldsymbol{r}_i, \boldsymbol{r}_j$, and $\sum{j>i}$ indicates a sum over $\left(\begin{array}{c}N \ 2\end{array}\right)$ pairs of particles. ${ }^1$ For central forces, $v_{i j}$ depends only on the magnitude of the distance between particles, $v_{i j}=v\left(\left|\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j\right|\right)$, which we assume for simplicity. The methods developed here can be extended to quantum systems, but the analysis becomes more complicated; we won’t consider interacting quantum gases. ${ }^2$
For our purposes, the precise nature of the interactions underlying the potential energy function $v(r)$ is not important as long as there is a long-range attractive component together with a shortrange repulsive force. To be definite, we mention the Lennard-Jones potential (shown in Fig. 6.1) for the interaction between closed-shell atoms, which has the parameterized form,
$$
v(r)=4 \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{r}\right)^6\right],
$$
where $\epsilon$ is the depth of the potential well, and $\sigma$ is the distance at which the potential is zero. The $r^{-6}$ term describes an attractive interaction between neutral molecules that arises from the energy of interaction between fluctuating multipoles of the molecular charge distributions. ${ }^3$ The $r^{-12}$ term models the repulsive force at short distances that arises from the Pauli exclusion effect of overlapping electronic orbitals. There’s no science behind the $r^{-12}$ form; it’s analytically convenient, and it provides a good approximation of the interactions between atoms. For the noble gases, $\epsilon$ ranges from $0.003 \mathrm{eV}$ for Ne to $0.02 \mathrm{eV}$ for Xe [18, $\mathrm{p} 398]$. The parameter $\sigma$ is approximately $0.3 \mathrm{~nm}$.
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Internal energy
对于平均内能在，没有必要从等式中的总和中分离出基态。（5.73），因为状态与和=0对能量没有贡献，我们从方程式中得到。(5.74),在=(3G在ķ吨/(2l吨3)G5/2(和). 然而，我们仍然必须区分这两种情况吨>吨乙和TT_B \ G_{5 / 2}(1) & TT_B \ \left(\frac{T}{T_B}\right)^{3 / 2} \frac{\zeta(5 / 2)}{\zeta(3 / 2)} & TT_BTT_B \ G_{5 / 2}(1) & TT_B \ \left(\frac{T}{T_B}\right)^{3 / 2} \frac{\zeta(5 / 2)}{\zeta(3 / 2)} & TT_B和nl吨乙3=G(3/2)为了吨≤吨乙. 请注意，对于吨>吨乙，能量是经典理想气体的能量，32ñķ吨, 乘以G5/2(和)/G3/2(和). 为了吨<吨乙, 能量形式为在=32ñ和Xķ吨G(5/2)/G(3/2)， 在哪里ñ和X在方程式中定义。（5.158）。以基态凝聚的粒子能量为零；只有处于激发态的粒子对气体的能量有贡献吨<吨乙.
我们可以使用方程式。(B.28) （扩展G5/2按照G3/2) 以消除对等式中逸度的引用。(5.163),
G5/2(和)G3/2(和)=1−0.1768G3/2(和)−0.0033G3/22(和)−0.00011G3/23(和)−⋯,因此，使用G3/2(和)=G(3/2)(吨乙/吨)3/2，我们有从方程式。(5.163),
$$
U=\frac{3}{2} N k T\left{
[1−0.4618(吨乙吨)3/2−0.0225(吨乙吨)3−0.0020(吨乙吨)9/2−⋯]吨>吨乙 G(5/2)G(3/2)(吨吨乙)3/2吨<吨乙\正确的。
$$
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|THE MAYER CLUSTER EXPANSION
考虑 $N$ 质量相同的粒子 $m$ 通过两体互动进行互动， $v_{i j}$, 与哈密顿量
$$
H=\frac{1}{2 m} \sum_i p_i^2+\sum_{j>i} v_{i j}, \quad(i, j=1,2, \cdots, N)
$$
在哪里 $v_{i j} \equiv v\left(\boldsymbol{r} i-\boldsymbol{r}j\right)$ 表示与位置处粒子之间的相互作用相关的势能 $\boldsymbol{r}_i, \boldsymbol{r}_j ，$ 和 $\sum j>i$ 表示总和超过 $\left(N 2\right.$ ) 粒子对。 ${ }^1$ 对于中央部队， $v{i j}$ 仅取决于粒子之间距离的大小， $v_{i j}=v\left(\left|\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j\right|\right)$ ，为简单起见， 我们假设。这里开发的方法可以扩展到量子系统，但分析变得更加筫杂；我们不会考虑相互作用的量子气 体 $^2 2$
出于我们的目的，势能函数背后的相互作用的精确性质 $v(r)$ 只要有一个长程的吸引力和一个短程的排斥 力，这并不重要。为了明确起见，我们提到了闭壳原子之间相互作用的 Lennard-Jones 势（如图 $6.1$ 所 示)，它具有参数化形式，
$$
v(r)=4 \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{r}\right)^6\right]
$$
在哪里 $\epsilon$ 是势阱的深度，并且 $\sigma$ 是电位为零的距离。这 $r^{-6}$ 术语描述了中性分子之间的有吸引力的相互作 用，这种相互作用源于分子电荷分布的波动多极之间的相互作用能量。 ${ }^3$ 这 $r^{-12}$ 术语模拟了由重萣电子轨 道的泡利排斥效应引起的短距离排后力。背后没有科学依据 $r^{-12}$ 形式; 它在分析上很方便，并且可以很好 地近似原子之间的相互作用。对于稀有气体， $\epsilon$ 范围从 $0.003 \mathrm{eV}$ 为 $\mathrm{Ne} 0.02 \mathrm{eV}$ 用于车辆 [18,p398]. 参数 $\sigma$ 大 约是 $0.3 \mathrm{~nm}$.
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