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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|THE ONE-DIMENSIONAL ISING MODEL

The Ising model, conceived in 1924 as a model of magnetism, has come to occupy a special place in theoretical physics with an enormous literature. ${ }^{33}$ Consider a one-dimensional crystalline latticea set of uniformly spaced points (lattice sites) separated by a distance $a$. Referring to Fig. $6.19$, at each lattice site assign the value of a variable that can take one of two values, conventionally denoted $\sigma_i=\pm 1, i=1, \cdots, N$, where $N$ is the number of lattice sites. The variables $\sigma_i$ can be visualized as vertical arrows, up or down (as in Fig. 6.19), and for that reason are known as Ising spins. Real spin- $\frac{1}{2}$ particles have two values of the projection of their spin vectors $S$ onto a preselected $z$-axis, $S_z=\pm \frac{1}{2} \hbar$, and thus $S_z$ can be written $S_z=\frac{1}{2} \hbar \sigma$, but that is the extent to which Ising spins have any relation to quantum spins. Ising spins are two-valued classical variables. In this section we consider one-dimensional systems of Ising spins, which can be solved exactly. Ising spins on two-dimensional lattices can also be solved exactly, but the mathematics is more difficult. We touch on the two-dimensional Ising model in Chapter 7; what we learn here will help.

Paramagnetism was treated in Chapter 5 in which independent magnetic moments interact with an externally applied magnetic field. Many other types of magnetic phenomena occur as a result of interactions between moments located on lattice sites of crystals. In ferromagnets, moments at widely separated sites become aligned, spontaneously producing (at sufficiently low temperatures) a magnetized sample in the absence of an applied field. In antiferromagnets, moments become antialigned at different sites, in which there is a spontaneous ordering of the individual moments, even though there is no net magnetization. The Heisenberg spin Hamiltonian models the coupling of spins $S_i, S_j$ located at lattice sites $(i, j)$ in the form $H=-\sum_{i j} J_{i j} S_i \cdot S_j$, where the coefficients $J_{i j}$ are the exchange coupling constants. ${ }^{34}$ Positive (negative) exchange coefficients promote ferromagnetic (antiferromagnetic) ordering. The microscopic underpinnings of the interaction $J_{i j}$ is a complicated business we won’t venture into. ${ }^{35}$ In statistical mechanics, the coupling coefficients are taken as given parameters. The symbol $S_i$ strictly speaking refers to a quantum-mechanical operator, but in many cases is approximated as a classical vector. The Ising model replaces $S_i$ with its $z$-component, normalized to unit magnitude.

We take as the Hamiltonian for a one-dimensional system of Ising spins having nearest-neighbor interactions, ${ }^{36}$
$$
H\left(\sigma_1, \cdots, \sigma_N\right)=-J \sum_{i=1}^{N-1} \sigma_i \sigma_{i+1}-b \sum_{i=1}^N \sigma_i
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The transfer matrix method

The method of analysis leading to the recursion relation in Eq. (6.69) does not generalize to finite magnetic fields (try it!). We now present a more general technique for calculating the partition function of spin models, the transfer matrix method, which applies to systems satisfying periodic boundary conditions. Figure $6.22$ shows a system of $N$ Ising spins that wraps around on itself ${ }^{40}$ with $\sigma_{N+1} \equiv \sigma_1$. The Hamiltonian
$$
H=-J \sum_{i=1}^N \sigma_i \sigma_{i+1}-b \sum_{i=1}^N \sigma_i . \quad\left(\sigma_{N+1} \equiv \sigma_1\right)
$$
The only difference between Eqs. (6.75) and (6.68) is the spin interaction $\sigma_N \sigma_1$.

The partition function requires us to evaluate the sum
$$
Z_N(K, B)=\sum_{{\sigma}} \exp \left(K \sum_{i=1}^N \sigma_i \sigma_{i+1}+B \sum_{i=1}^N \sigma_i\right),
$$
where $B=\beta b$. The exponential in Eq. (6.76) can be factored, ${ }^{41}$ allowing us to write
$$
Z_N(K, B)=\sum_{{\sigma}} V\left(\sigma_1, \sigma_2\right) V\left(\sigma_2, \sigma_3\right) \cdots V\left(\sigma_{N-1}, \sigma_N\right) V\left(\sigma_N, \sigma_1\right)
$$
where
$$
V\left(\sigma_i, \sigma_{i+1}\right) \equiv \exp \left(K \sigma_i \sigma_{i+1}+\frac{1}{2} B\left(\sigma_i+\sigma_{i+1}\right)\right)
$$
is symmetric in its arguments, ${ }^{42} V\left(\sigma_i, \sigma_{i+1}\right)=V\left(\sigma_{i+1}, \sigma_i\right)$.
Equation (6.77) is in the form of a product of matrices. We can regard $V\left(\sigma, \sigma^{\prime}\right)$ as the elements of a $2 \times 2$ matrix, $V$, the transfer matrix, ${ }^{43}$ which, in the “up-down” basis $\sigma_j=\pm 1$, has the form
$$
\boldsymbol{V}=(+)\left(\begin{array}{cc}
\mathrm{e}^{K+B} & (-) \
\mathrm{e}^{-K} & \mathrm{e}^{-K-B}
\end{array}\right)
$$
Holding $\sigma_1$ fixed in Eq. (6.77) and summing over $\sigma_2, \cdots, \sigma_N, Z$ is related to the trace of an $N$-fold matrix product,
$$
Z_N(K, B)=\sum_{\sigma_1} \boldsymbol{V}^N\left(\sigma_1, \sigma_1\right)=\operatorname{Tr} \boldsymbol{V}^N
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3006

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|THE ONE-DIMENSIONAL ISING MODEL

Ising 模型于 1924 年被构想为磁性模型,在理论物理学中占有特殊的地位,拥有大量文献。 ${ }^{33}$ 考虑一个一 维晶格集,由间隔一定距离的均匀间隔点 (晶格点) 组成 $a$. 参考图。6.19,在每个格点分配一个变量的 值,该变量可以取两个值之一,通常表示 $\sigma_i=\pm 1, i=1, \cdots, N$ ,在哪里 $N$ 是格点的数量。变量 $\sigma_i$ 可以 可视化为垂直箭头,向上或向下 (如图 $6.19$ 所示),因此被称为伊辛旋转。真正的旋转- $\frac{1}{2}$ 粒子有两个自 旋向量的投影值 $S$ 到预选的 $z$-轴, $S_z=\pm \frac{1}{2} \hbar$ ,因此 $S_z$ 可以写 $S_z=\frac{1}{2} \hbar \sigma$ ,但这就是伊辛自旋与量子自旋 有任何关系的程度。伊辛自旋是二值经典变量。在本节中,我们考虑可以精确求解的伊辛自旋的一维系 统。二维晶格上的伊辛自旋也可以精确求解,但数学更难。我们将在第 7 章讨论二维伊辛模型;我们在这 里学到的东西会有所帮助。
第 5 章讨论了顺磁性,其中独立的磁矩与外部施加的磁场相互作用。许多其他类型的磁现象是由于位于晶 体晶格位置上的矩之间的相互作用而发生的。在铁磁体中,相距较远的位置处的力矩对齐,在没有外加场 的情况下自发地产生 (在足够低的温度下) 磁化样品。在反铁磁体中,矩在不同的位置变得反对齐,即使 没有净磁化强度,各个磁矩也会自发排序。海森堡自旋哈密顿量模拟自旋耦合 $S_i, S_j$ 位于格点 $(i, j)$ 在表格 中 $H=-\sum_{i j} J_{i j} S_i \cdot S_j$, 其中系数 $J_{i j}$ 是交换耦合常数。 ${ }^{34}$ 正 (负) 交换系数促进铁磁 (反铁磁) 排序。 相互作用的微观基础 $J_{i j}$ 是一项筫杂的业务,我们不会冒险。 ${ }^{35}$ 在统计力学中,耦合系数被作为给定的参 数。符号 $S_i$ 严格来说是指一个量子力学算子,但在很多情况下被近似为一个经典向量。Ising 模型取代 $S_i$ 与其 $z$-分量,归一化为单位量级。
我们将具有最近邻相互作用的伊辛自旋的一维系统作为哈密顿量, ${ }^{36}$
$$
H\left(\sigma_1, \cdots, \sigma_N\right)=-J \sum_{i=1}^{N-1} \sigma_i \sigma_{i+1}-b \sum_{i=1}^N \sigma_i
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|The transfer matrix method

导致方程式中递归关系的分析方法。(6.69) 不能推广到有限磁场 (试试看!))。䖸们现在提出一种更通用 的计算自旋模型配分函数的技术,即传递矩阵法,它适用于满足周期性边界条件的系統。数字 $6.22$ 显示了 一个系统 $N$ 环绕自身的伊辛旋转 ${ }^{40}$ 和 $\sigma_{N+1} \equiv \sigma_1$. 哈密顿量
$$
H=-J \sum_{i=1}^N \sigma_i \sigma_{i+1}-b \sum_{i=1}^N \sigma_i . \quad\left(\sigma_{N+1} \equiv \sigma_1\right)
$$
方程式之间的唯一区别。(6.75) 和 (6.68) 是自旋相互作用 $\sigma_N \sigma_1$.
分区函数要求我们评估总和
$$
Z_N(K, B)=\sum_\sigma \exp \left(K \sum_{i=1}^N \sigma_i \sigma_{i+1}+B \sum_{i=1}^N \sigma_i\right)
$$
在哪里 $B=\beta b$. 方程式中的指数。(6.76) 可以因式分解, ${ }^{41}$ 允许我们写
$$
Z_N(K, B)=\sum_\sigma V\left(\sigma_1, \sigma_2\right) V\left(\sigma_2, \sigma_3\right) \cdots V\left(\sigma_{N-1}, \sigma_N\right) V\left(\sigma_N, \sigma_1\right)
$$
在翖里
$$
V\left(\sigma_i, \sigma_{i+1}\right) \equiv \exp \left(K \sigma_i \sigma_{i+1}+\frac{1}{2} B\left(\sigma_i+\sigma_{i+1}\right)\right)
$$
在其论点上是对称的, ${ }^{42} V\left(\sigma_i, \sigma_{i+1}\right)=V\left(\sigma_{i+1}, \sigma_i\right)$.
方程 (6.77) 是矩阵乘积的形式。我们可以认为 $V\left(\sigma, \sigma^{\prime}\right)$ 作为一个元素 $2 \times 2$ 矩阵, $V$ ,转移矩阵, ${ }^4$ 其 中,在”上下”的基础上 $\sigma_j=\pm 1$ ,有形式
$$
\boldsymbol{V}=(+)\left(\begin{array}{ll}
\mathrm{e}^{K+B} & (-) \mathrm{e}^{-K} \quad \mathrm{e}^{-K-B}
\end{array}\right)
$$
保持 $\sigma_1$ 固定在方程式中。 $(6.77)$ 并求和 $\sigma_2, \cdots, \sigma_N, Z$ 与踪迹有关 $N$-折疍矩阵产品,
$$
Z_N(K, B)=\sum \boldsymbol{V}^N\left(\sigma_1, \sigma_1\right)=\operatorname{Tr} \boldsymbol{V}^N
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考

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