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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Correlation functions
Correlation functions (such as $\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle$ ) play an important role in statistical mechanics and will increasingly occupy our attention in this book; they provide spatial, structural information that cannot be obtained from partition functions. ${ }^{47,48}$ We can calculate correlation functions of Ising spins using the transfer matrix method, as we now show. Translational invariance (built into periodic boundary conditions, but attained in any event in the thermodynamic limit) implies that $\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle$ is a function of the separation between sites $(i, j),\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle=f(|i-j|)$. The quantity $\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle$ is in some sense a conditional probability: Given that the spin at site $i$ has value $\sigma_i$, what is the probability that the spin at site $j$ has value $\sigma_j$ ? That is, to what extent is the value of $\sigma_j$ correlated ${ }^{49}$ with the value of $\sigma_i$ ? We expect the closer spins are spatially, the more they are correlated. Correlation functions establish a length, the correlation length, $\xi$, a measure of the range over which correlations persist. We expect for separations far in excess of the correlation length, $|i-j| \gg \xi$, that $\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle \rightarrow\langle\sigma\rangle^2$.
Because $V\left(\sigma_1, \sigma_2\right) \cdots V\left(\sigma_N, \sigma_1\right) / Z_N$ is the probability the system is in state $\left(\sigma_1, \cdots, \sigma_N\right)$ (for periodic boundary conditions), the average we wish to calculate is:
$$
\begin{aligned}
\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle=\frac{1}{Z_N} \sum_{{\sigma}} V\left(\sigma_1, \sigma_2\right) \cdots V\left(\sigma_{i-1}, \sigma_i\right) \sigma_i V\left(\sigma_i, \sigma_{i+1}\right) \cdots \
& \cdots V\left(\sigma_{j-1}, \sigma_j\right) \sigma_j V\left(\sigma_j, \sigma_{j+1}\right) \cdots V\left(\sigma_N, \sigma_1\right) \cdot(6.87)
\end{aligned}
$$
We’ve written Eq. (6.87) using transfer matrix symbols, but it’s not in the form of a matrix product (compare with Eq. (6.77)). We need a matrix representation of Ising spins. A matrix represents the action of a linear operator in a given basis of the vector space on which the operator acts. And of course bases are not unique – any set of linearly independent vectors that span the space will do. In Eq. (6.79) we used a basis of up and down spin states, which span a two dimensional space, $|+\rangle \equiv\left(\begin{array}{l}1 \ 0\end{array}\right)$ and $|-\rangle \equiv\left(\begin{array}{c}0 \ 1\end{array}\right)$. With a nod to quantum mechanics, ${ }^{50}$ measuring $\sigma$ at a given site is associated with an operator $S$ that, in the “up-down” basis, is represented by a diagonal matrix with elements $^{51}$
$$
S\left(\sigma, \sigma^{\prime}\right) \equiv\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \
0 & -1
\end{array}\right),
$$
which is one of the Pauli spin matrices. ${ }^{52}$
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Next-nearest-neighbor model
The transfer matrix method allows us to treat models having interactions that extend beyond nearestneighbors. ${ }^{56}$ We show how to set up the transfer matrix for a model with nearest and next-nearest neighbor interactions ${ }^{57}$ with Hamiltonian
$$
H(\sigma)=-J_1 \sum_{i=1}^N \sigma_i \sigma_{i+1}-J_2 \sum_{i=1}^N \sigma_i \sigma_{i+2},
$$
where we adopt periodic boundary conditions, $\sigma_{N+1} \equiv \sigma_1$ and $\sigma_{N+2} \equiv \sigma_2$. Figure $6.23$ shows the
Figure 6.23: Nearest-neighbor ( $J_1$, solid lines) and next-nearest neighbor $\left(J_2\right.$, dashed) interactions.
two types of interactions and their connectivity in one dimension.
To set up the transfer matrix, we group spins into cells of two spins apiece, as shown in Fig. 6.24. We label the spins in the $k^{\text {th }}$ cell $\left(\sigma_{k, 1}, \sigma_{k, 2}\right), 1 \leq k \leq N / 2$. A key step is to associate
the degrees of freedom of each cell with a new variable $s_k$ representing the four configurations $(+,+),(+,-),(-,+),(-,-)$. This is a mapping from the $2^N$ degrees of freedom of Ising spins $\left{\sigma_i\right}, 1 \leq i \leq N$, to an equivalent number $4^{N / 2}$ degrees of freedom associated with the cell variables $\left{s_k\right}, 1 \leq k \leq N / 2$.
Besides grouping spins into cells, we also classify interactions as those associated with intra-cell couplings (see Fig. 6.25)
$$
V_0\left(s_k\right) \equiv-J_1 \sigma_{k, 1} \sigma_{k, 2},
$$
and inter-cell couplings,
$$
V_1\left(s_k, s_{k+1}\right) \equiv-J_1 \sigma_{k, 2} \sigma_{k+1,1}-J_2\left(\sigma_{k, 1} \sigma_{k+1,1}+\sigma_{k, 2} \sigma_{k+1,2}\right) .
$$
With these definitions, the Hamiltonian can be written as the sum of two terms, one containing all intra-cell interactions and the other containing all inter-cell interactions,
$$
H(s)=\sum_{k=1}^{N / 2}\left(V_0\left(s_k\right)+V_1\left(s_k, s_{k+1}\right)\right) \equiv H_0(s)+H_1(s)
$$ where s(N/2)+1 ≡ s1. Comparing Eqs.
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Correlation functions
相关函数 $\left(\right.$ 如 $\left.\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle\right)$ 在统计力学中发挥重要作用，并将在本书中越来越多地占据我们的注意力；它们提 供了无法从分区函数中获得的空间、结构信息。 ${ }^{47,48}$ 正如我们现在所展示的，我们可以使用传递矩阵方法 计算伊辛自旋的相关函数。平移不变性（内置于周期性边界条件中，但在任何情况下都在热力学极限中实 现) 意味着 $\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle$ 是站点之间分离的函数 $(i, j),\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle=f(|i-j|)$. 数量 $\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle$ 在某种意义上是一个条 件概率: 假设现场的自旋 $i$ 有价值 $\sigma_i$ ，现场自旋的概率是多少 $j$ 有价值 $\sigma_j$ ? 也就是说，价值在多大程度上 $\sigma_j$ 相 关的 ${ }^{49}$ 与价值 $\sigma_i$ ? 我们预计自施在空间上越接近，它们的相关性就越大。相关函数建立一个长度，相关长 度， $\xi$ ，衡量相关性持续存在的范围。我们期望分离远远超过相关长度， $|i-j| \gg \xi$ ，那 $\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle \rightarrow\langle\sigma\rangle^2$.
因为 $V\left(\sigma_1, \sigma_2\right) \cdots V\left(\sigma_N, \sigma_1\right) / Z_N$ 是系统处于状态的概率 $\left(\sigma_1, \cdots, \sigma_N\right)$ (对于周期性边界条件)，我 们㹷望计算的平均值是:
$$
\left\langle\sigma_i \sigma_j\right\rangle=\frac{1}{Z_N} \sum_\sigma V\left(\sigma_1, \sigma_2\right) \cdots V\left(\sigma_{i-1}, \sigma_i\right) \sigma_i V\left(\sigma_i, \sigma_{i+1}\right) \cdots \cdots V\left(\sigma_{j-1}, \sigma_j\right) \sigma_j V\left(\sigma_j, \sigma_{j+1}\right) \cdots V\left(\sigma_N, \sigma_1\right)
$$
我们写了方程式。(6.87) 使用传递矩阵符号，但它不是矩阵乘积的形式 (与等式 (6.77) 比较)。我们需 要一个伊辛自旋的矩阵表示。矩阵表示线性算子在给定向量空间的基础上的操作，该算子在其上起作用。 当然，基并不是唯一的一任何跨越空间的线性独立向量集都可以。在等式。(6.79) 我们使用了上下自旋 状态的基础，它跨越了一个二维空间， $|+\rangle \equiv(10)$ 和 $|-\rangle \equiv(01)$. 向量子力学致敬， ${ }^{50}$ 测量 $\sigma$ 在给定站 点与操作员相关联 $S$ 在“自上而下”的基础上，它由一个对角矩阵表示，其中包含元素 51
这是泡利自旋矩阵之一。 ${ }^{52}$
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转移矩阵方法允许我们处理具有超出最近邻的交互的模型。 ${ }^{56}$ 我们展示了如何为具有最近邻交互和次最近 邻交互的模型设置传递矩阵 ${ }^{57}$ 与哈密顿量
$$
H(\sigma)=-J_1 \sum_{i=1}^N \sigma_i \sigma_{i+1}-J_2 \sum_{i=1}^N \sigma_i \sigma_{i+2}
$$
㧴们采用周期性边界条件， $\sigma_{N+1} \equiv \sigma_1$ 和 $\sigma_{N+2} \equiv \sigma_2$. 数字 $6.23$ 显示了
图 6.23：最近邻 ( $J_1$ ，实线) 和下一个最近邻( $J_2$ ，虚线) 相互作用。 两种类型的交互及其在一维中的连通性。
为了建立转移矩阵，我们将自旋分成两个自旋的单元，如图 $6.24$ 所示。㧴们在 $k^{\text {th }}$ 细胞 $\left(\sigma_{k, 1}, \sigma_{k, 2}\right), 1 \leq k \leq N / 2$. 一个关键步乑是关联
具有新变量的每个单元的自由度 $s_k$ 代表四种配置 $(+,+),(+,-),(-,+),(-,-)$. 这是来自的映射 $2^N$ \left{s_k\right } } , 1 \backslash \text { leq } k \backslash \text { leq } N / 2 \text { . }
除了将自旋分组为细胞外，我们还将相互作用分类为与细胞内耦合相关的相互作用（见图 6.25)
$$
V_0\left(s_k\right) \equiv-J_1 \sigma_{k, 1} \sigma_{k, 2},
$$
和单元间耦合，
$$
V_1\left(s_k, s_{k+1}\right) \equiv-J_1 \sigma_{k, 2} \sigma_{k+1,1}-J_2\left(\sigma_{k, 1} \sigma_{k+1,1}+\sigma_{k, 2} \sigma_{k+1,2}\right)
$$
有了这些定义，哈密顿量可以写成两项之和，一项包含所有细胞内相互作用，另一项包含所有细胞间相互 作用，
$$
H(s)=\sum_{k=1}^{N / 2}\left(V_0\left(s_k\right)+V_1\left(s_k, s_{k+1}\right)\right) \equiv H_0(s)+H_1(s)
$$
其中 $s(N / 2)+1 \equiv s 1$ 。比较方程式。
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