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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Classical Symmetries

We observe that the cosymplectic pair $(d t, \Omega)$ fully encodes the geometric structure of spacetime and its fields. Accordingly, we define the infinitesimal symmetries of classical structure to be the phase vector fields $X^{\uparrow} \in \operatorname{pro}_{E, T}\left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right)$, which fulfill the conditions $L_X \dagger d t=0$ and $L_X^{\dagger} \Omega=0$ (see Definition 13.1.1).

Actually, the infinitesimal symmetries of the classical structure turn out to be of the type $X^{\uparrow}=X^{\uparrow}[f]=X^{\uparrow}$ hol $[f]=X^{\uparrow}$ ham $[f]:=\gamma\left(f^{\prime \prime}\right)+\Lambda^{\ddagger}(d f)$, with $f \in$ cns timspe $\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$, i.e., in coordinates of the type $X^{\uparrow}=X^{\uparrow}[f]=f^0 \partial_0-f^i \partial_i+$ $X_0^i \partial_i^0$, with $f^0 \in \mathbb{R}, f^i, \breve{f} \in \operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R})$, and $X_0^i=G_0^{i j}\left(-f^0\left(\partial_0 \mathcal{P}_j-\partial_j A_0\right)+f^h\right.$ $\left.\left(\partial_h \mathcal{P}_j-\partial_j A_h\right)+\partial_j f^h \mathcal{Q}_h+\partial_j \breve{f}\right)$

Hence, the Lie algebra of infinitesimal symmetries of classical structure is generated, in a covariant way, by the Lie algebra of conserved time preserving special phase functions.

Moreover, we observe that the pair $(d t, \mathcal{L}[\mathrm{b}])$ fully encodes the geometric structure of classical dynamics. Accordingly, we define the infinitesimal symmetries of classical dynamics to be the spacetime vector fields $X \in \operatorname{prosec}(\boldsymbol{E}, T \boldsymbol{E})$, which fulfill the conditions $L_{X^1} d t=0$ and $L_{X^1} \mathcal{L}[\mathrm{b}]=0$, where $X^1 \in \operatorname{pro}_{E, T} \sec \left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right)$ is the 1-jet holonomic prolongation of $X$, (see Definition 13.2.4 and Theorem 13.2.6).

Actually, the infinitesimal symmetries of the classical structure turn out to be of the type $X^1=X^{\uparrow}[f]=X^{\uparrow}$ hol $[f]=X^{\uparrow}$ ham $[f]:=\gamma\left(f^{\prime \prime}\right)+\Lambda^{\prime}(d f)$, with (seee Definition 12.6.2) $f \in$ cns timspe $\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$, fulfilling the condition $d \breve{f}[o]=-d\left(i_{X[f]} A\right.$ $[\mathrm{b}, o])$, which can be expressed in coordinates as $f=f^0 \mathcal{H}_0[\mathrm{~b}, o]+f^i \mathcal{P}_i[\mathrm{~b}, o]$, with $f^\lambda \in \operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) ; \hat{f} \in \mathbb{R}$.

Hence, the Lie algebra of infinitesimal symmetries of classical dynamics is generated, in a covariant way, by a certain Lie subalgebra of conserved time preserving special phase functions.

Therefore, the Lie algebra of infinitesimal symmetries of classical structure is smaller than Lie algebra of infinitesimal symmetries of classical dynamics; the reason of this discrepancy is due to the fact that the pair $(d t, \Omega)$ is gauge independent, while the pair $(d t, \mathcal{L}[\mathrm{b}])$ is gauge dependent.

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Real and Complex Quantum Bundle

Since the very beginning, Quantum Mechanics has been formulated in a complex language. Apparently, this fact conflicts with the real language of Classical Mechanics: such a discrepancy might look quite strange. So, one might ask why Quantum Mechanics should be a complex theory and whether there is a mysterious deep reason for this.

Actually, this strange anomaly disappears if we realise that the notion of a hermitian 1-dimensional complex bundle is fully equivalent to the notion of a euclidean oriented 2-dimensional real vector bundle (see, for instance [242, Vol. II]).

Indeed, we give due weight to this equivalence. So, besides the usual approach to the quantum bundle in terms of a hermitian 1-dimensional complex bundle, we discuss also the approach in terms of an oriented euclidean 2-dimensional real bundle (see Postulate Q.1 and Note 14.4.5).

These two approaches are equivalent from a formal geometric viewpoint but they emphasise different physical meanings and provide different practical advantages.
We stress that, from a physical viewpoint, the real language emphasises 2 (internal) real degrees of freedom of the scalar quantum particle; actually, this fact can be easily understood in comparison with Classical Mechanics. Moreover, the real language is very convenient for the development of geometric aspects of Quantum Mechanics which are based on real geometric methods, such as lagrangian theory, symmetries and jet spaces. Actually, in standard literature these aspects are usually treated in complex terms. But we stress that a rigorous translation in complex terms of geometric theories which are deeply real is much more subtle and delicate than it might appear at a first insight.

However, the complex language provides a quick and compact expression of several developments and formulas. So, in our opinion, this is the very reason why Quantum Mechanics needs the complex language.

Actually, in the book we use both languages: we use the real language just for the topics which are essentially real, but then translate the results in the usual complex language.

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS3040

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Classical Symmetries

我们观察到余辛对 $(d t, \Omega)$ 完全编码时空及其场的几何结构。因此,我们将经典结构的无穷小对称性定义为 相位矢量场 $X^{\dagger} \in \operatorname{pro}{E, T}\left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right.$ ),满足条件 $L_X \dagger d t=0$ 和 $L_X^{\dagger} \Omega=0$ (见定义 13.1.1)。 实际上,经典结构的无穷小对称性原来是 $X^{\uparrow}=X^{\uparrow}[f]=X^{\uparrow}$ 在哪里 $[f]=X^{\uparrow}$ 也 $[f]:=\gamma\left(f^{\prime \prime}\right)+\Lambda^{\ddagger}(d f)$ ,和 $f \in$ 中信时报 $\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ ,即在类型的坐标中 $X^{\uparrow}=X^{\uparrow}[f]=f^0 \partial_0-f^i \partial_i+X_0^i \partial_i^0$ , 和 $f^0 \in \mathbb{R}, f^i, \breve{f} \in \operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) , \quad$ 和 $X_0^i=G_0^{i j}\left(-f^0\left(\partial_0 \mathcal{P}_j-\partial_j A_0\right)+f^h\right.$ $$ \left.\left(\partial_h \mathcal{P}_j-\partial_j A_h\right)+\partial_j f^h \mathcal{Q}_h+\partial_j \breve{f}\right) $$ 因此,经典结构的无穷小对称性李代数是由保留特殊相位函数的守恒时间李代数以协变方式生成的。 此外,我们观察到这对 $(d t, \mathcal{L}[\mathrm{b}])$ 完全编码经典动力学的几何结构。因此,我们将经典动力学的无穷小对 称性定义为时空向量场 $X \in \operatorname{prosec}(\boldsymbol{E}, T \boldsymbol{E})$ ,满足条件 $L{X^1} d t=0$ 和 $L_{X^1} \mathcal{L}[\mathrm{b}]=0$ , 在哪里
实际上,经典结构的无穷小对称性原来是 $X^1=X^{\uparrow}[f]=X^{\uparrow}$ 在哪里 $[f]=X^{\uparrow}$ 也 $[f]:=\gamma\left(f^{\prime \prime}\right)+\Lambda^{\prime}(d f)$ , with (见定义 12.6.2) $f \in$ 中信时报 $\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ ,满足条件 $d \breve{f}[o]=-d\left(i_{X[f]} A[\mathrm{~b}, o]\right)$, 可以用坐标表示为 $f=f^0 \mathcal{H}_0[\mathrm{~b}, o]+f^i \mathcal{P}_i[\mathrm{~b}, o]$ , 和 $f^\lambda \in \operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) ; \hat{f} \in \mathbb{R}$.
因此,经典动力学的无穷小对称性李代数是由特定相位函数的守恒时间李子代数以协变方式生成的。
因此,经典结构的无穷小对称李代数小于经典动力学的无穷小对称李代数;这种差异的原因是由于这对 $(d t, \Omega)$ 是规范独立的,而对 $(d t, \mathcal{L}[\mathrm{b}])$ 取决于规格。

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Real and Complex Quantum Bundle

从一开始,量子力学就被用一种复杂的语言来表述。显然,这一事实与古典力学的真实语言相冲突:这种差异可能看起来很奇怪。所以,有人可能会问为什么量子力学应该是一个复杂的理论,这是否有一个神秘的深层原因。

实际上,如果我们意识到 Hermitian 1 维复丛的概念完全等同于欧几里德定向的 2 维实向量丛的概念(例如,参见 [242, Vol. II]),这种奇怪的反常现象就会消失。

事实上,我们对这种等效性给予了应有的重视。因此,除了根据厄米特 1 维复数丛来处理量子丛的通常方法外,我们还讨论了根据有向欧几里得二维实丛的方法(见假设 Q.1 和注释 14.4.5)。

这两种方法从形式几何的角度来看是等价的,但它们强调不同的物理意义并提供不同的实际优势。
我们强调,从物理的角度来看,实语言强调标量量子粒子的 2(内部)实自由度;事实上,这个事实与经典力学相比很容易理解。此外,真实语言对于基于真实几何方法的量子力学几何方面的发展非常方便,例如拉格朗日理论、对称性和射流空间。实际上,在标准文献中,这些方面通常用复杂的术语来处理。但是我们强调,对深刻真实的几何理论的复杂术语的严格翻译比第一次洞察时可能出现的要微妙和微妙得多。

然而,复杂的语言提供了几个发展和公式的快速和紧凑的表达。因此,在我们看来,这正是量子力学需要复杂语言的原因。

实际上,在本书中,我们使用了两种语言:我们只针对本质上真实的主题使用真实语言,然后将结果翻译成通常的复杂语言。

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