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物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|High density limit
Under what conditions could the Coulomb interaction between electrons be treated as a small perturbation? To answer this question. we define a dimensionless parameter $r_{\mathrm{y}}$ by
$$
(4 \pi / 3) r_s^3 a_0^2=V / N .
$$
where $a_0=\hbar^2 /\left(m e^2\right.$ ) is the Bohr radius (in SI units. $\left.e^2 \rightarrow e^2 / 4 \pi \varepsilon_0\right) . r_s a_0$ is the radius of a sphere whose volume is equal to the average volume occupied by one electron. Defining the dimensionless quantities
$$
V^{\prime}=V /\left(r_s a_0\right)^3 . \quad \mathbf{K}=r_s a_0 \mathbf{k} . \quad \mathbf{Q}=r_s a_0 \mathbf{q} .
$$
we may recast the Hamiltonian in Eq. $(4.11)$ into the following form:
$$
H=\frac{e^2}{r_s^2 a_0}\left[\sum_{\mathrm{K} / r} K^2 c_{\mathrm{k} \sigma}^{\dagger} c_{\mathrm{k} \sigma}+\frac{r_{\mathrm{s}}}{V^{\prime}} \sum_Q^{\prime} \sum_{\mathrm{k} \sigma} \sum_{\mathrm{k}^{\prime} \sigma^{\prime}} \frac{2 \pi}{Q^2} c_{\mathrm{k}+\mathrm{q} \sigma}^{\dagger} c_{\mathrm{k}^{\prime}-\mathbf{q} \sigma^{\prime}}^{\dagger} c_{\mathbf{k}^{\prime} \cdot \sigma^{\prime} c_{\mathrm{k}}}\right]{(4.13)} $$ This expression for $H$ is very telling: compared to the kinetic energy of electrons, the Coulomb interaction is negligible in the high density limit, $r_s \rightarrow 0$. This conclusion appears to be counterintuitive, but a moment’s reflection reveals its validity. Coulomb repulsion scales as $1 / r{\mathrm{s}}$, and from Heisenberg’s uncertainty principle, the electron’s momentum also scales as $1 / r_{\text {s }}$. Therefore, the kinetic energy scales as $1 / r^2$. Thus, as $r_s \rightarrow 0$, even though the Coulomb energy grows larger. the kinetic energy of the electrons grows larger at a faster rate. We conclude that in the high-density limit. the Coulomb repulsion is weak in comparison with the kinetic energy, and it is permissible to treat it within the framework of perturbation theory. In real metals, $r_s=2-6$, which is neither too small nor too large. Nevertheless, in most metals, the single-particle approximation explains many of their low energy properties. This is because the Coulomb interaction, even when it is strong, is not very effective at changing the momentum distribution of the electrons: most of the states into which they could scatter are already occupied.
物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|First order perturbation
Treating $V_C$ as a perturbation, the energy per electron in the ground state is written as a perturbation series
$$
E / N=E_0 / N+E_1 / N+E_2 / N+\cdots
$$
$E_1$ is given by
$$
E_1=\frac{1}{2 V} \sum_q^{\prime} \sum_{\mathrm{k} \sigma} \sum_{\mathrm{k}^{\prime} \sigma^{\prime}} \frac{4 \pi e^2}{q^2}\left\langle F\left|c_{\mathrm{k}+\mathrm{q} \sigma}^{\dagger} c_{\mathrm{k}^{\prime}-\mathrm{q}^{\prime}}^{\dagger} \cdot c_{\mathrm{k}^{\prime} \sigma^{\prime} \cdot c_{\mathrm{k} \sigma}}\right| F\right\rangle .
$$
The action of $c_{\mathbf{k}^{\prime} \sigma} \cdot c_{\mathrm{k} \sigma}$ on $|F\rangle$, for $k, k^{\prime}k_F$. Hence
$$
c_{\mathrm{k} \pi}^{\dagger} c_{\mathrm{k} \sigma}|F\rangle=\theta\left(k_F-k\right)|F\rangle
$$
物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|High density limit
在什么条件下电子之间的库仑相互作用可以被视为小扰动? 要回答这个问题。我们定义一个无量纲参数 $r_{\mathrm{y}}$ 经过
$$
(4 \pi / 3) r_s^3 a_0^2=V / N .
$$
在哪里 $a_0=\hbar^2 /\left(m e^2\right)$ 是玻尔半径 (SI 单位。 $\left.e^2 \rightarrow e^2 / 4 \pi \varepsilon_0\right) \cdot r_s a_0$ 是体积等于一个电子占据的平均体 积的球体的半径。定义无量纲量
$$
V^{\prime}=V /\left(r_s a_0\right)^3 . \quad \mathbf{K}=r_s a_0 \mathbf{k} . \quad \mathbf{Q}=r_s a_0 \mathbf{q} .
$$
我们可以重铸方程中的哈密顿量。(4.11)变成以下形式:
这个表达式为 $H$ 很能说明问题：与电子的动能相比，库仑相互作用在高密度极限可以忽略不计， $r_s \rightarrow 0$. 这个结论似乎有悖常理，但片刻的反思揭示了它的有效性。库仑斥力标度为 $1 / r \mathrm{~s}$ ，并且根据海森堡的不确 定性原理，电子的动量也缩放为 $1 / r_s$. 因此，动能标度为 $1 / r^2$. 因此，作为 $r_s \rightarrow 0$ ，即使库仑能量变大。 电子的动能以更㭈的速度增长。我们得出结论，在高密度极限。与动能相比，库仑后力较弱，可以在微扰 理论的框架内处理。在真实金属中， $r_s=2-6$ ，既不太小也不太大。然而，在大多数金属中，单粒子近 似解释了它们的许多低能量特性。这是因为库仑相互作用，即使它很强，在改变电子的动量分布方面也不 是很有效：它们可以散射到的大多数状态已经被占据。
物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|First order perturbation
治疗 $V_C$ 作为扰动，基态中每个电子的能量写成扰动级数
$$
E / N=E_0 / N+E_1 / N+E_2 / N+\cdots
$$
$E_1$ 是 (谁) 给的
$$
E_1=\frac{1}{2 V} \sum_q^{\prime} \sum_{\mathrm{k} \sigma} \sum_{\mathbf{k}^{\prime} \sigma^{\prime}} \frac{4 \pi e^2}{q^2}\left\langle F\left|c_{\mathrm{k}+4 \sigma}^{\dagger} c_{\mathrm{k}^{\prime}-\mathrm{q}^{\prime}}^{\dagger} \cdot c_{\mathrm{k}^{\prime} \sigma^{\prime} \cdot c_{\mathrm{k} \sigma}}\right| F\right\rangle .
$$
的行动 $c_{\mathrm{k}^{\prime} \sigma} \cdot c_{\mathrm{k} \sigma}$ 上 $|F\rangle$ ，为了 $k, k^{\prime} k_F$. 因此
$$
c_{\mathrm{k} \pi}^{\dagger} c_{\mathrm{k} \sigma}|F\rangle=\theta\left(k_F-k\right)|F\rangle
$$
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