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物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|The electron gas
A metallic crystal has a large number of mobile electrons, of the order of Avogadro’s number, and a correspondingly large number of ions. If our interest is in the bulk properties of a crystal, we may take the volume $V$ of the crystal to be infinite, and the number of electrons $N$ to be infinite, while keeping $N / V$, the number density of electrons. finite; this is called the thermodynamic limit. The ions incessantly vibrate about their equilibrium positions, but due to their large mass, they move very slowly in comparison with the electrons, so that the electrons quickly adjust their state to reflect whatever positions the ions occupy at any given time. Consequently, to a good approximation, one may solve the Schrödinger equation for electrons by assuming that the ions are fixed; this is the Born-Oppenheimer approximation. The influence of the ionic vibrations on the electronic states, described through the electron-phonon interaction, may be treated by perturbation theory: this is discussed in Chapter $11 .$
A more drastic approximation in the description of a metal is to replace the mesh of positive ions with a uniform positive background, which results in the socalled jellium model. In a model such as this. any results obtained are necessarily qualitative in nature. In this chapter. we study the jellium model. One of our goals in this study is to show that the divergent term in the Coulomb interaction. corresponding to $\mathbf{q}=\mathbf{0}$ (see Eq. [3.29]), is cancelled by contributions to the total energy from the positive background. This cancellation is a consequence of the charge neutrality of the crystal. and it holds true even if the approximation of a uniform positive background is relaxed. Another goal of this chapter is to show the neccssity of performing perturbation expansions to higher. generally infinite, orders. We will later proceed to study Green’s functions, whereby such a program may be carried out more easily.
物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|The Hamiltonian in the jellium model
Let us consider the jellium model in thermodynamic limit: $N \rightarrow \infty, V \rightarrow \infty$, while $N / V$ remains constant. The Hamiltonian consists of three terms.
$$
H=H_e+H_b+H_{c-b} .
$$
The first term is the sum of the kinetic energies of the electrons and their Coulomb interactions. From Eqs (3.19) and (3.29).
$$
H_c=\sum_{\mathrm{k} \sigma} \frac{\hbar^2 k^2}{2 m} c_{k \sigma}^{\dagger} c_{k \sigma}+\lim {\mu \rightarrow 0} \frac{1}{2 V} \sum_q \sum{k \sigma} \sum_{k^{\prime} \sigma^{\prime}} \frac{4 \pi e^2}{q^2+\mu^2} c_{k+q \sigma}^{\dagger} c_{k^{\prime}-q \sigma^{\prime}}^{\dagger} c_{k^{\prime} \sigma^{\prime}} c_k \sigma .
$$
The second term. $H_h$, represents the Coulomb energy of the uniform positive background. To find the correct expression for $\mathrm{H}b$, consider a collection of point charges $q_1, q_2 \ldots$ at positions $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots$ Their Coulomb energy is $$ E{\text {Coul }}=\frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \frac{q_i q i}{\left|\mathbf{r}i-\mathbf{r}_j\right|} \quad \text { (cgs units). } $$ The factor 1/2 ensures that pairs of point charges are counted only once. For a continuous charge distribution, $q_i$ is replaced by $\rho\left(\mathbf{r}_i\right) d^3 r_i$, where $\rho(\mathbf{r})$ is the chatge density, and the summation is replaced by integration. Therefore, $$ H_b=\lim {\mu \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{2} \int \frac{\rho(\mathbf{r}) \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-\mu\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d^3 r d^3 r^{\prime}=\lim _{\mu \rightarrow 0^{+}} \frac{N^2 e^2}{2 V^2} \int \frac{e^{-\mu\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}}{\mid \mathbf{r}-\overline{\mathbf{r}^{\prime} \mid}} d^3 r d^3 r^{\prime} .
$$

物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|The electron gas
金属晶体具有大量阿伏伽德罗数量级的可移动电子,以及相应大量的离子。如果我们对晶体的体积特性感兴趣,我们可以取体积在晶体无限大,电子数ñ是无限的,同时保持ñ/在,电子的数密度。有限; 这称为热力学极限。离子不断地围绕它们的平衡位置振动,但由于它们的质量很大,与电子相比它们移动得非常慢,因此电子会迅速调整它们的状态以反映离子在任何给定时间占据的任何位置。因此,一个很好的近似值可以通过假设离子是固定的来求解电子的薛定谔方程。这是 Born-Oppenheimer 近似。离子振动对电子态的影响,通过电子-声子相互作用描述,可以用微扰理论来处理:这在第 1 章中讨论11.
描述金属的一个更激烈的近似是用均匀的正背景替换正离子网格,这导致了所谓的 jellium 模型。在这样的模型中。获得的任何结果都必然是定性的。在这一章当中。我们研究了 jellium 模型。我们在这项研究中的目标之一是表明库仑相互作用中的发散项。对应于q=0(见方程[3.29]),被正背景对总能量的贡献所抵消。这种抵消是晶体电荷中性的结果。即使放宽了均匀正背景的近似值,它仍然成立。本章的另一个目标是展示执行更高的扰动扩展的必要性。一般是无限的,订单。我们稍后将继续研究格林的函数,从而可以更容易地执行这样的程序。
物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|The Hamiltonian in the jellium model
让我们考虑热力学极限下的 jellium 模型: $N \rightarrow \infty, V \rightarrow \infty$ ,尽管 $N / V$ 保持不变。哈密顿量由三个项 组成。
$$
H=H_e+H_b+H_{c-b} .
$$
第一项是电子的动能及其库仑相互作用的总和。来自方程 (3.19) 和 (3.29)。
$$
H_c=\sum_{\mathrm{k} \sigma} \frac{\hbar^2 k^2}{2 m} c_{k \sigma}^{\dagger} c_{k \sigma}+\lim \mu \rightarrow 0 \frac{1}{2 V} \sum_q \sum k \sigma \sum_{k^{\prime} \sigma^{\prime}} \frac{4 \pi e^2}{q^2+\mu^2} c_{k+q \sigma}^{\dagger} c_{k^{\prime}-q \sigma^{\prime}}^{\dagger} c_{k^{\prime} \sigma^{\prime}} c_k \sigma .
$$
第二学期。 $H_h$ ,表示均匀正背景的库仑能量。找到正确的表达方式 $\mathrm{H} b$ ,考虑点收费的集合 $q_1, q_2 \ldots$ 在位 置 $\mathbf{r}1, \mathbf{r}_2, \ldots$ 他们的库仑能量是 $$ E \text { Coul }=\frac{1}{2} \sum{i \neq j} \frac{q_i q i}{\left|\mathbf{r} i-\mathbf{r}j\right|} \quad \text { (cgs units). } $$ 因子 $1 / 2$ 确保点电荷对只计算一次。对于连续的电荷分布, $q_i$ 被替换为 $\rho\left(\mathbf{r}_i\right) d^3 r_i$ ,在哪里 $\rho(\mathbf{r})$ 是聊天密 度,求和用积分代替。所以, $$ H_b=\lim \mu \rightarrow 0^{+} \frac{1}{2} \int \frac{\rho(\mathbf{r}) \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-\mu\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d^3 r d^3 r^{\prime}=\lim {\mu \rightarrow 0^{+}} \frac{N^2 e^2}{2 V^2} \int \frac{e^{-\mu\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}}{\mid \mathbf{r}-\overline{\mathbf{r}^{\prime} \mid}} d^3 r d^3 r^{\prime}
$$

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