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物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|The fundamental postulate of statistical mechanics
Consider an isolated system of $N$ noninteracting, identical particles confined to a region of volume $V$. The Hamiltonian is $H=\sum_{i=1}^N h(i)$, where $h(i)$ is the operator that represents the energy of particle $i$. The single-particle states are obtained by solving the Schrödinger equation $h\left|\phi_1\right\rangle=\epsilon_1\left|\phi_1\right\rangle$, where $v$ stands for all the quantum numbers that characterize the state. The energy $\epsilon_1$ depends on $V$. For example. for a system of noninteracting particles confined to a cube of side length $L$. $\epsilon_{k \sigma}=\hbar^2 k^2 / 2 m$, and if periodic boundary conditions are adopred, then $k_x \cdot k_y, k_z=0, \pm 2 \pi / L \cdot \pm 4 \pi / L \ldots$. The total energy of the system is $E=$ $\sum n_1, \epsilon_1$, where $n_1$ is the number of particles in state $\left|\phi_v\right\rangle$, and the total number of particles is $N=\sum_v n_1$. A macrostate of the system is defined by specifying the values of $N, V$, and $E$.
At the microscopic level, there are many different ways to distribute the energy $E$ among the $N$ particles that comprise the system. Each of these difPerent ways defines a particular microstate that is consistent with the given macrostate. A microstate is a quantum state of the system described by a wave function $\psi(1.2 \ldots N)$. The number of microstates that are consistent with a given macrostate is a function of $N, V$, and $E$, and it is denoted by $\Omega(N, V, E)$. For a macroscopic system consisting of a large number of particles, of the order of Avogadro’s number $\left(6.22 \times 10^{23}\right), \Omega(N, V, E)$ will be, in general, a fantastically large number. The fundamental postulate of statistical mechanics asserts the following: an isolated system in equilibrium, in a given macrostate, is equally likely to be in any of the microstates that are consistent with the given macrostate.
物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|The canonical ensemble
A canonical ensemble is representative of a system at a fixed temperature $T$. We consider a small system $A$ in contact with a heat reservoir $R$ at temperature $T$ (see Figure 5.2). The combined system, $A+R$, is isolated. and its total cnergy is $E_0$, which is a constant. System $A$ is small in the sense that its degrees of freedom are far fewer than those of $R$. What is the probability $p_n$ of finding $A$ in state $\left|\psi_n\right\rangle$ with encrgy $E_n$, once equilibrium has been attained? If $A$ is in stare $\left|\psi_n\right\rangle$. then the number of states of the combined system is simply $\Omega_k\left(E_0-E_n\right)$, which is the number of states accessible to $R$. Therefore, $p_n$ is proportional to $\Omega_R\left(E_0-E_n\right)$.
$$
p_n=C \Omega_R\left(E_0-E_n\right)=C e^{\ln \Omega_R\left(E_0-E_n\right)} .
$$
We can expand $\ln \Omega_R\left(E_0-E_n\right)$,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{In} \Omega_R\left(E_0-E_n\right) &=\ln \Omega_R\left(E_0\right)-\left.\frac{\partial \ln \Omega_R}{\partial E}\right|{E_0} E_n+O\left(E_n^2\right) \ &=\ln \Omega_k\left(E_0\right)-\left.\frac{\partial \ln \Omega_R}{\partial E}\right|{E_R+E_n} E_n+O\left(E_n^2\right) \
&=\ln \Omega_R\left(E_0\right)-\left.\frac{\partial \ln \Omega_R}{\partial E}\right|_{E_R} E_n+O\left(E_n^2\right) .
\end{aligned}
$$
Since $E_n \ll E_0$. we neglect terms of order higher than $E_n$. Using Eq. (5.2), the above equation may be written as
$$
\ln \Omega_R\left(E_0-E_n\right)=\ln \Omega_K\left(E_0\right)-\beta E_n
$$
where $\beta=1 / k T$ and $T$ is the temperature of the reservoir. Therefore,
$$
p_n=C e^{\ln \Omega_R\left(E_0\right)-\beta E_n}=C \Omega_R\left(E_0\right) e^{-\beta E_n}=C^{\prime} e^{-\beta E_n} .
$$
物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|The fundamental postulate of statistical mechanics
考虑一个孤立的系统 $N$ 非相互作用的、相同的粒子被限制在一个体积区域内 $V$. 哈密顿量是 $H=\sum_{i=1}^N h(i)$ ，在哪里 $h(i)$ 是表示粒子能量的算子 $i$. 通过求解薛定谔方程获得单粒子状态 $h\left|\phi_1\right\rangle=\epsilon_1\left|\phi_1\right\rangle$ ，在哪里 $v$ 代表所有表征状态的量子数。能量 $\epsilon_1$ 取决于 $V$. 例如。对于限制在边长立方体 内的非相互作用粒子系统 $L \cdot \epsilon_{k \sigma}=\hbar^2 k^2 / 2 m$ ，如果采用周期性边界条件，则 $k_x \cdot k_y, k_z=0, \pm 2 \pi / L \cdot \pm 4 \pi / L \ldots$ 系统的总能量为 $E=\sum n_1, \epsilon_1$ ， 在哪里 $n_1$ 是处于状态的粒子数 $\left|\phi_v\right\rangle$ ，粒子总数为 $N=\sum_v n_1$. 系统的宏观状态是通过指定的值来定义的 $N, V$ ，和 $E$.
在微观层面，有许多不同的方式来分配能量 $E$ 之间 $N$ 构成系统的粒子。这些不同方式中的每一种都定义了 与给定宏观状态一致的特定微观状态。微观状态是由波函数描述的系统的量子状态 $\psi(1.2 \ldots N)$. 与给定宏 观状态一致的微观状态的数量是 $N, V$ ，和 $E$ ，并表示为 $\Omega(N, V, E)$. 对于由大量粒子组成的宏观系统，其 数量级为阿伏伽德罗数 $\left(6.22 \times 10^{23}\right), \Omega(N, V, E)$ 一般来说，将是一个非常大的数字。统计力学的基本 假设断言如下：处于平衡状态的孤立系统，在给定的宏观状态下，同样可能处于与给定宏观状态一致的任 何微观状态。
物理代写|费曼图代写Feynman diagram代考|The canonical ensemble
正则系综代表固定温度下的系统 $T$. 我们考虑一个小系统 $A$ 与菑热器接触 $R$ 在温度 $T$ (见图 5.2)。组合系 统， $A+R_1$ 是孤立的。它的总能量是 $E_0$ ，这是一个常数。系统 $A$ 小是因为它的自由度远小于 $R$. 概率是多 少 $p_n$ 的发现 $A$ 处于状态 $\left|\psi_n\right\rangle$ 有能量 $E_n ，$ 一旦达到平衡? 如果 $A$ 盯着看 $\left|\psi_n\right\rangle$. 那么组合系统的状态数就是 $\Omega_k\left(E_0-E_n\right)$ ，这是可访问的状态数 $R$. 所以， $p_n$ 正比于 $\Omega_R\left(E_0-E_n\right)$.
$$
p_n=C \Omega_R\left(E_0-E_n\right)=C e^{\ln \Omega_R\left(E_0-E_n\right)} .
$$
我们可以展开垚n剶 $\Omega_R\left(E_0-E_n\right)$,
$$
\operatorname{In} \Omega_R\left(E_0-E_n\right)=\ln \Omega_R\left(E_0\right)-\frac{\partial \ln \Omega_R}{\partial E}\left|E_0 E_n+O\left(E_n^2\right) \quad=\ln \Omega_k\left(E_0\right)-\frac{\partial \ln \Omega_R}{\partial E}\right| E_R+E_n E_n
$$
自从 $E_n \ll E_0$. 我们忽略了高于 $E_n$. 使用方程式。(5.2)，上式可写为
$$
\ln \Omega_R\left(E_0-E_n\right)=\ln \Omega_K\left(E_0\right)-\beta E_n
$$
在哪里 $\beta=1 / k T$ 和 $T$ 是水库的温度。所以，
$$
p_n=C e^{\ln \Omega_R\left(E_0\right)-\beta E_n}=C \Omega_R\left(E_0\right) e^{-\beta E_n}=C^{\prime} e^{-\beta E_n} .
$$
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