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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|THE BIOT-SAVART LAW

Let us consider the current-carrying conductor shown in Figure 3.3. Oersted showed that this conductor will generate a magnetic field that is coaxial to the wire. So, if we place an imaginary unit north pole at a point $\mathrm{P}$, distance $r$ from a small elemental section of the wire of length $\mathrm{d} l$, the wire will experience a force that will tend to push it to the left. (The plan view in Figure 3.3b shows why this is so.) In addition, there will be an equal and opposite force on the north pole due to the field surrounding the wire.

Let us try to find the magnetic field strength, $\delta H_1$, at the north pole, due to the current element formed by $I$ and $\mathrm{d} l$. As we have just discussed, the current element produces a force on the north pole, and the north pole will produce an equal and opposite force on the current element. If we can find these two forces, and then equate them, we should get an expression for the magnetic field strength generated by the wire.

Let us initially consider the field at $\mathrm{d} l$ due to the imaginary north pole of strength $p_{\mathrm{N}}$. As this north pole is a point source, it emits magnetic flux in a radial direction. Thus, we can write the flux density as
$$
\boldsymbol{B}_N=\frac{p_N}{4 \pi r^2} \boldsymbol{r}
$$
Direct experimental measurement shows that the force on a current-carrying conductor placed in a magnetic field is given by
$$
F=B I l
$$
where $B$ is the flux density of the magnetic field in which the wire is placed, $I$ is the current flowing through the wire and $l$ is the length of the wire. (We can intuitively reason that this equation is correct by noting that powerful electric motors require a large electric current and contain a large amount of wire – they are very heavy!)
By combining Equations (3.8) and (3.9), we find that the force on the element $\mathrm{d} l$ due to the field emitted by the north pole is
$$
\mathrm{d} F=\frac{p_N}{4 \pi r^2} I \mathrm{~d} l
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|MAGNETIC FIELD STRENGTH

Let us consider the current-carrying wire shown in Figure $3.6$. We want to find the magnetic field strength at a point $\mathrm{P}$, distance $R$ from the wire. To find $H$ at this point, we will determine the field strength due to a small current element, and then integrate the result over the length of the wire.
By applying the Biot-Savart law, we get
$$
\mathbf{d} H=\frac{I \mathrm{~d} z}{4 \pi r^2} \sin \theta \mathrm{A} \mathrm{m}^{-1}
$$
acting into the page. Now, to find the total field strength, we need to integrate Equation (3.19) with respect to length. Unfortunately, as we move along the wire, the distance $r$ and the angle $\theta$ will vary. So, we need to do some substitution and manipulation before we can do any integration.

Instead of working with the angle $\theta$, we can simplify the integration if we use the angle $\alpha$ instead. So, with reference to Figure 3.6, we can see that $z=R \tan \alpha$ and so $\mathrm{d} z=R \mathrm{~d} \alpha / \cos ^2 \alpha$. As $\sin \theta=R l r=\cos \alpha$, we get $r=R l \cos \alpha$. Thus, Equation (3.19) becomes
$$
\mathbf{d} \boldsymbol{H}=\frac{1}{4 \pi} \frac{R \mathrm{~d} \alpha}{\cos ^2 \alpha} \frac{\cos ^2 \alpha}{R^2} \cos \alpha
$$

Now, as we move from $-\infty$ to $+\infty$ the angle $\alpha$ varies from $-\pi / 2$ to $+\pi / 2$. So.
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{H} &=\frac{I}{4 \pi R} \int_{-\pi / 2}^{+\pi / 2} \cos ^2 \alpha \mathrm{d} \alpha \
&=\left.\left.\frac{I}{4 \pi R}\right|{-\pi / 2} ^{+\pi / 2} \sin \alpha\right|{-1} \
&=\frac{I}{4 \pi R}(1+1)
\end{aligned}
$$
and $\mathrm{SO}$,
$$
\boldsymbol{H}=\frac{I}{2 \pi R} \text { into the page }
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|ELEC3104

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|THE BIOT-SAVART LAW

让我们考虑图 $3.3$ 所示的载流导体。奧斯特表明,这种导体会产生与导线同轴的磁场。所以,如果我们在 一点上放置一个假想单位北极 $\mathrm{P}$ ,距离 $r$ 从长度的线的一个小元素部分 $\mathrm{d} l$ ,电线将受到一个倾向于将其推 向左侧的力。(图 3.3b 中的平面图显示了为什么会这样。) 此外,由于电线周围的磁场,北极上将有一个 相等且相反的力。
让我们试着找出磁场强度, $\delta H_1$ ,在北极,由于由下式形成的电流元 $I$ 和 $\mathrm{d} l$. 正如我们刚才所讨论的,电流 元件在北极上产生一个力,而北极将在电流元件上产生一个相等且相反的力。如果我们能找到这两种力, 然后将它们等同起来,我们应该得到导线产生的磁场强度的表达式。
让我们首先考虑以下领域 $\mathrm{d} l$ 由于力量的假想北极 $p_{\mathrm{N}}$. 由于这个北极是一个点源,它会在径向方向发射磁通 量。因此,我们可以将磁通密度写为
$$
\boldsymbol{B}_N=\frac{p_N}{4 \pi r^2} \boldsymbol{r}
$$
直接实验测量表明,放置在磁场中的载流导体上的力由下式给出
$$
F=B I l
$$
在哪里 $B$ 是放置导线的磁场的通量密度,I是流过导线的电流,并且 $l$ 是电线的长度。(我们可以直观地推 断出这个方程是正确的,因为强大的电动机需要大电流并且包含大量电线一一它们非常重!) 通过结合方程 (3.8) 和(3.9),我们发现元素上的力 $\mathrm{d} l$ 由于北极发出的场是
$$
\mathrm{d} F=\frac{p_N}{4 \pi r^2} I \mathrm{~d} l
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|MAGNETIC FIELD STRENGTH

让我们考虑下图所示的载流导线3.6. 我们想找到某个点的磁场强度 $\mathrm{P}$ ,距离 $R$ 从电线。寻找 $H$ 此时,我们 将确定由小电流元件引起的场强,然后在整个导线长度上积分结果。 通过应用 Biot-Savart 定律,我们得到
$$
\mathbf{d} H=\frac{I \mathrm{~d} z}{4 \pi r^2} \sin \theta \mathrm{Am}^{-1}
$$
作用于页面。现在,要找到总场强,我们需要对等式 (3.19) 对长度进行积分。不幸的是,当我们沿着电线 移动时,距离 $r$ 和角度 $\theta$ 会有所不同。因此,在进行任何集成之前,我们需要进行一些替换和操作。
而不是使用角度 $\theta$ ,如果我们使用角度,我们可以简化积分 $\alpha$ 反而。因此,参考图 3.6,我们可以看到 $z=R \tan \alpha$ 所以 $\mathrm{d} z=R \mathrm{~d} \alpha / \cos ^2 \alpha$. 作为 $\sin \theta=R l r=\cos \alpha$ ,我们得到 $r=R l \cos \alpha$. 因此,方程 (3.19) 变为
$$
\mathbf{d} \boldsymbol{H}=\frac{1}{4 \pi} \frac{R \mathrm{~d} \alpha}{\cos ^2 \alpha} \frac{\cos ^2 \alpha}{R^2} \cos \alpha
$$
现在,当我们从 $-\infty$ 至 $+\infty$ 角度 $\alpha$ 变化于 $-\pi / 2$ 至 $+\pi / 2$. 所以。
$$
\boldsymbol{H}=\frac{I}{4 \pi R} \int_{-\pi / 2}^{+\pi / 2} \cos ^2 \alpha \mathrm{d} \alpha \quad=\frac{I}{4 \pi R}\left|-\pi / 2^{+\pi / 2} \sin \alpha\right|-1=\frac{I}{4 \pi R}(1+1)
$$
和SO,
$$
\boldsymbol{H}=\frac{I}{2 \pi R} \text { into the page }
$$

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考

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