经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Find2022

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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|One-Step Efficient Estimation

It is sometimes easy to obtain consistent but inefficient estimates but relatively difficult to obtain NLS estimates. This may, for example, be the case when the nonlinear model to be estimated is really a linear model subject to nonlinear restrictions, as many rational expectations models are. In these circumstances, a useful result is that taking just one step from these initial consistent estimates, using the Gauss-Newton regression, yields estimates that are asymptotically equivalent to NLS estimates.

Let $\boldsymbol{\beta}$ denote the initial estimates, which are assumed to be root- $n$ consistent. The GNR is then
$$
\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}}=\dot{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{b}+\text { residuals, }
$$
and the estimate of $\boldsymbol{b}$ from this regression is
$$
\dot{\boldsymbol{b}}=\left(\dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \dot{\boldsymbol{X}}\right)^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top}(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}}) .
$$
Thus the one-step efficient estimator is
$$
\dot{\boldsymbol{\beta}}=\dot{\boldsymbol{\beta}}+\dot{\boldsymbol{b}} .
$$
Taylor expanding $\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})$ around $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}_0$ yields
$$
\dot{\boldsymbol{x}} \cong \boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{X}_0\left(\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{\beta}_0\right),
$$
where $\boldsymbol{x}_0 \equiv \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{\beta}_0\right)$ and $\boldsymbol{X}_0 \equiv \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{\beta}_0\right)$. Substituting this into (6.31), replacing $\boldsymbol{y}$ by its value under the DGP, $\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{u}$, and inserting appropriate powers of $n$ so that all quantities are $O(1)$, leads to the result that
$$
\begin{aligned}
n^{1 / 2} \dot{\boldsymbol{b}} & \cong n^{-1 / 2}\left(n^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \dot{\boldsymbol{X}}\right)^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top}\left(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{u}-\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{X}_0\left(\boldsymbol{\boldsymbol { \beta }}-\boldsymbol{\beta}_0\right)\right) \
&=\left(n^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \dot{\boldsymbol{X}}\right)^{-1}\left(n^{-1 / 2} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \boldsymbol{u}-\left(n^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \boldsymbol{X}_0\right) n^{1 / 2}\left(\boldsymbol{\boldsymbol { \beta }}-\boldsymbol{\beta}_0\right)\right)
\end{aligned}
$$
But notice that
$$
n^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \dot{\boldsymbol{X}} \stackrel{a}{=} n^{-1} \boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{X}_0 \stackrel{a}{=} n^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \boldsymbol{X}_0
$$

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Hypothesis Tests Using Any Consistent Estimates

The procedures for testing that we discussed in Sections $6.4$ and $6.5$ all involve evaluating the artificial regression at restricted NLS estimates and thus yield test statistics based on the LM principle. But when the restricted regression function is nonlinear, it is not always convenient to obtain NLS estimates. Luckily, one can perform tests by means of a GNR whenever any root- $n$ consistent estimates that satisfy the null hypothesis are available. We briefly discuss how to do so in this section.

Suppose we are dealing with the situation discussed in Section 6.4, in which the parameter vector $\boldsymbol{\beta}$ is partitioned as $\left[\boldsymbol{\beta}_1: \boldsymbol{\beta}_2\right]$, and the null hypothesis is that $\boldsymbol{\beta}_2=\mathbf{0}$. Assume that we have available a vector of root- $n$
$$
y-\dot{x}=\dot{X}_1 b_1+\dot{X}_2 b_2+\text { residuals. }
$$
The explained sum of squares from this regression is
$$
(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}})^{\top} \dot{\boldsymbol{P}}_1(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}})+(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}})^{\top} \dot{\boldsymbol{M}}_1 \dot{\boldsymbol{X}}_2\left(\dot{\boldsymbol{X}}_2^{\top} \dot{\boldsymbol{M}}_1 \dot{\boldsymbol{X}}_2\right)^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}_2^{\top} \dot{\boldsymbol{M}}_1(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}}) .
$$
The first term here is the explained sum of squares from a regression of $\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}}$ on $\dot{\boldsymbol{X}}_1$ alone, and the second term is the increase in the explained sum of squares brought about by the inclusion of $\dot{\boldsymbol{X}}_2$. Note that the first term is in general not zero, because $\boldsymbol{\beta}_1$ will not in general satisfy the first-order conditions for NLS estimates of the restricted model.

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Find2022

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|One-Step Efficient Estimation

有时很容易获得一致但低效的估计,但获得 NLS 估计相对困难。例如,当要估计的非线性模型实际上是受 非线性限制的线性模型时,可能会出现这种情况,就像许多理性预期模型一样。在这些情况下,一个有用 的结果是,使用 Gauss-Newton 回归,从这些初始一致估计中仅采取一步,就会产生渐近等效于 NLS 估计 的估计。
让 $\beta$ 表示初始估计,假设为根 $n$ 持续的。然后 $\mathrm{GNR}$ 为
$$
\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}}=\dot{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{b}+\text { residuals, }
$$
和估计 $b$ 从这个回归是
$$
\dot{\boldsymbol{b}}=\left(\dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \dot{\boldsymbol{X}}\right)^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top}(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}}) .
$$
因此,一步有效估计量是
$$
\dot{\boldsymbol{\beta}}=\dot{\boldsymbol{\beta}}+\dot{\boldsymbol{b}} .
$$
泰勒展开 $x(\beta)$ 大约 $\beta=\beta_0$ 产量
$$
\dot{\boldsymbol{x}} \cong \boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{X}_0\left(\beta-\boldsymbol{\beta}_0\right),
$$
在哪里 $x_0 \equiv \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{\beta}_0\right)$ 和 $\boldsymbol{X}_0 \equiv \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{\beta}_0\right)$. 将其代入 (6.31),替换 $y$ 根据 DGP 的价值, $\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{u}$ ,并揷入适 当的权力 $n$ 所以所有的量都是 $O(1)$, 导致结果是
$$
n^{1 / 2} \dot{\boldsymbol{b}} \cong n^{-1 / 2}\left(n^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \dot{\boldsymbol{X}}\right)^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top}\left(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{u}-\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{X}_0\left(\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{\beta}_0\right)\right) \quad=\left(n^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \dot{\boldsymbol{X}}\right)^{-1}\left(n^{-1 / 2} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \boldsymbol{u}\right.
$$
但请注意
$$
n^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \dot{\boldsymbol{X}} \stackrel{a}{=} n^{-1} \boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{X}_0 \stackrel{a}{=} n^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}^{\top} \boldsymbol{X}_0
$$

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Hypothesis Tests Using Any Consistent Estimates

我们在章节中讨论的测试程序 $6.4$ 和 $6.5$ 所有这些都涉及在受限 NLS 估计值下评估人工回归,从而产生基于 LM 原理的测试统计数据。但是当受限回归函数是非线性的时,获得 NLS 估计并不总是很方便。幸运的 是,只要任何 root- $n$ 满足原假设的一致估计是可用的。我们将在本节中简要讨论如何执行此操作。
假设我们正在处理 $6.4$ 节中讨论的情况,其中参数向量 $\beta$ 被划分为 $\left[\beta_1: \beta_2\right]$, 原假设是 $\beta_2=0$. 假设我们有 一个可用的根向量 $n$
$$
y-\dot{x}=\dot{X}_1 b_1+\dot{X}_2 b_2+\text { residuals. }
$$
从这个回归解释平方和是
$$
(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}})^{\top} \dot{\boldsymbol{P}}_1(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}})+(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}})^{\top} \dot{\boldsymbol{M}}_1 \dot{\boldsymbol{X}}_2\left(\dot{\boldsymbol{X}}_2^{\top} \dot{\boldsymbol{M}}_1 \dot{\boldsymbol{X}}_2\right)^{-1} \dot{\boldsymbol{X}}_2^{\top} \dot{\boldsymbol{M}}_1(\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}})
$$
这里的第一项是来自回归的解释平方和 $\boldsymbol{y}-\dot{\boldsymbol{x}}$ 上 $\dot{\boldsymbol{X}}_1$ 单独而言,第二项是由包含 $\dot{\boldsymbol{X}}_2$. 请注意,第一项通常 不为零,因为 $\beta_1$ 一般不会满足受限模型的 NLS 估计的一阶条件。

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