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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Instrumental Variables

Up to this point, the only estimation technique we have considered is least squares, both ordinary and nonlinear. While least squares has many merits, it also has some drawbacks. One major drawback is that least squares yields consistent estimates only if the error terms are asymptotically orthogonal to the regressors or, in the nonlinear case, to the derivatives of the regression function. Consider, for simplicity, the linear regression model
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim \operatorname{IID}\left(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I}\right),
$$
where $\boldsymbol{X}$ is an $n \times k$ matrix of explanatory variables. The issues are the same whether the regression function is linear or nonlinear, and so we will deal with the linear case for simplicity. When the data are generated by the DGP
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}0+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim \operatorname{IID}\left(\mathbf{0}, \sigma_0^2 \mathbf{I}\right), $$ we have seen that the OLS estimate is $$ \hat{\boldsymbol{\beta}} \equiv\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\beta}_0+\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u} $$ It is obvious that if $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ is to be consistent for $\boldsymbol{\beta}_0$, the condition $$ \operatorname{plim}{n \rightarrow \infty}\left(n^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u}\right)=\mathbf{0}
$$
must hold. If $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ is to be unbiased, the stronger condition that $E\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u}\right)=\mathbf{0}$ must hold. These necessary conditions are not directly verifiable, since the orthogonality property of least squares ensures that regardless of whether $\boldsymbol{u}$ is correlated with $\boldsymbol{X}$ or not, the residuals $\hat{\boldsymbol{u}}$ are orthogonal to $\boldsymbol{X}$. This means that, no matter how biased and inconsistent least squares estimates may be, the least squares residuals will provide no evidence that there is a problem.
Suppose that plim $\left(n^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u}\right)=\boldsymbol{w}$, a nonzero vector. Then from (7.03) it is clear that $\operatorname{plim}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) \neq \boldsymbol{\beta}0$. Moreover, the probability limit of $n^{-1}$ times the sum of squared residuals will be $$ \operatorname{plim}{n \rightarrow \infty}\left(n^{-1} \boldsymbol{u}^{\top} \boldsymbol{M}X \boldsymbol{u}\right)=\sigma_0^2-\boldsymbol{w}^{\top} \operatorname{plim}{n \rightarrow \infty}\left(n^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{w}
$$

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Errors in Variables

Almost all economic variables are measured with error. This is true to a greater or lesser extent of all macroeconomic time series and is especially true of survey data and many other cross-section data sets. Unfortunately, the statistical consequences of errors in explanatory variables are severe, since explanatory variables that are measured with error are necessarily correlated with the error terms. When this occurs, the problem is said to be one of errors in variables. We will illustrate the problem of errors in variables with a simple example.

Suppose, for simplicity, that the DGP is
$$
\boldsymbol{y}=\alpha_0+\beta_0 \boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim \operatorname{IID}\left(\mathbf{0}, \sigma_0^2 \mathbf{I}\right),
$$
where $\boldsymbol{x}$ is a vector that is observed with error. We actually observe $\boldsymbol{x}^$, which is related to $\boldsymbol{x}$ by $$ \boldsymbol{x}^=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{v}, \quad \boldsymbol{v} \sim \operatorname{IID}\left(\mathbf{0}, \omega^2 \mathbf{I}\right) .
$$
The vector $v$ is a vector of measurement errors, which are assumed (possibly unrealistically) to have the i.i.d. property and to be independent of $\boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{u}$. Substituting $\boldsymbol{x}^-\boldsymbol{v}$ for $\boldsymbol{x}$ in (7.04), the DGP becomes $$ \boldsymbol{y}=\alpha_0+\beta_0 \boldsymbol{x}^-\beta_0 \boldsymbol{v}+\boldsymbol{u} .
$$
Thus the equation we can actually estimate is
$$
\boldsymbol{y}=\alpha+\beta \boldsymbol{x}^+\boldsymbol{u}^,
$$
where $\boldsymbol{u}^* \equiv \boldsymbol{u}-\beta_0 \boldsymbol{v}$. It is clear that $\boldsymbol{u}^$ is not independent of $\boldsymbol{x}^$. In fact
$$
E\left(\boldsymbol{x}^{* \top} \boldsymbol{u}^\right)=E\left((\boldsymbol{x}+\boldsymbol{v})^{\top}\left(\boldsymbol{u}-\beta_0 \boldsymbol{v}\right)\right)=-\beta_0 E\left(\boldsymbol{v}^{\top} \boldsymbol{v}\right)=-n \beta_0 \omega^2, $$ where, as usual, $n$ is the sample size. If we assume for concreteness that $\beta_0>0$, the error term $\boldsymbol{u}^$ is negatively correlated with the regressor $\boldsymbol{x}^$. This negative correlation means that least squares estimates of $\beta$ will be biased and inconsistent, as will least squares estimates of $\alpha$ unless $\boldsymbol{x}^$ happens to have mean zero. Note that the inconsistency of $\hat{\beta}$ is a problem only if we care about the parameter $\beta$. If, on the contrary, we were simply interested in finding the mean of $\boldsymbol{y}$ conditional on $\boldsymbol{x}^*$, estimating equation (7.05) by least squares is precisely what we would want to do.

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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Instrumental Variables

到目前为止,我们考虑的唯一估计技术是最小二乘法,普通的和非线性的。虽然最小二乘法有很多优点,
但也有一些缺点。一个主要缺点是,只有当误差项与回归量或在非线性情况下与回归函数的导数渐近正交 时,最小二乘法才会产生一致的估计。为简单起见,考虑线性回归模型
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim \operatorname{IID}\left(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I}\right),
$$
在哪里 $\boldsymbol{X}$ 是一个 $n \times k$ 解释变量矩阵。无论回归函数是线性的还是非线性的,问题都是相同的,因此为简 单起见,我们将处理线性情况。当数据由 DGP 生成时
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta} 0+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim \operatorname{IID}\left(\mathbf{0}, \sigma_0^2 \mathbf{I}\right),
$$
我们已经看到 OLS 估计是
$$
\hat{\boldsymbol{\beta}} \equiv\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\beta}_0+\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u}
$$
很明显,如果 $\hat{\beta}$ 是一致的 $\beta_0$ ,条件
$$
\operatorname{plim} n \rightarrow \infty\left(n^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u}\right)=\mathbf{0}
$$
必须持有。如果 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 是无偏的,更强的条件 $E\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u}\right)=0$ 必须持有。这些必要条件不能直接验证,因为最 小二乘法的正交性确保无论是否 $\boldsymbol{u}$ 与 $\boldsymbol{X}$ 与否,残差 $\hat{\boldsymbol{u}}$ 正交于 $\boldsymbol{X}$. 这意味着,无论最小二乘估计有多么有偏差 和不一致,最小二乘残差都不会提供存在问题的证据。
假设 $\operatorname{plim}\left(n^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u}\right)=\boldsymbol{w} ,$ 一个非霎向量。然后从 (7.03) 可以清楚地看出p $\operatorname{pim}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) \neq \boldsymbol{\beta}$. 此外,概率 极限 $n^{-1}$ 乘以残差平方和为
$$
\operatorname{plim} n \rightarrow \infty\left(n^{-1} \boldsymbol{u}^{\top} \boldsymbol{M} X \boldsymbol{u}\right)=\sigma_0^2-\boldsymbol{w}^{\top} \operatorname{plim} n \rightarrow \infty\left(n^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{w}
$$

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Errors in Variables

几乎所有经济变量的测量都存在误差。所有宏观经济时间序列或多或少都是如此,尤其是调查数据和许多
其他横截面数据集。不幸的是,解释变量误差的统计后果是严重的,因为测量误差的解释变量必然与误差 项相关。发生这种情况时,问题被称为变量错误之一。我们将通过一个简单的例子来说明变量中的错误问 题。
为简单起见,假设 DGP 是
$$
\boldsymbol{y}=\alpha_0+\beta_0 \boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim \operatorname{IID}\left(\mathbf{0}, \sigma_0^2 \mathbf{I}\right),
$$
在哪里 $x$ 是一个观察到有错误的向量。我们实际上观察到 \boldsymbol| $x}^{\wedge}$, 这与 $x$ 经过
$$
x^{=} x+v, \quad v \sim \operatorname{IID}\left(0, \omega^2 \mathbf{I}\right) .
$$
向量 $v$ 是测量误差的向量,假设 (可能不切实际) 具有独立同分布特性并且独立于 $\boldsymbol{x}$ 和 $u$. 莫代 $\boldsymbol{x}^{-} \boldsymbol{v}$ 为了 $\boldsymbol{x}$ 在 $(7.04)$ 中,DGP 变为
$$
\boldsymbol{y}=\alpha_0+\beta_0 \boldsymbol{x}^{-} \beta_0 \boldsymbol{v}+\boldsymbol{u} .
$$
因此,我们实际上可以估计的方程是
$$
\boldsymbol{y}=\alpha+\beta \boldsymbol{x}^{+} \boldsymbol{u}
$$
像往常一样, $n$ 是样本量。如果我们假设具体 $\beta_0>0$, 误差项 $\backslash$ boldsymbol{ $\left{u^{\wedge} \wedge\right.$ 与回归量呈负相关
\boldsymbol{x}^. 这种负相关意味着最小二乘估计 $\beta$ 将是有偏见和不一致的,最小二乘估计也是如此 $\alpha$ 除非
找到 $y$ 有条件的 $x^*$ ,用最小二乘估计方程 (7.05) 正是我们想要做的。

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