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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Co-evolution of Traits
The stability analyses in Chapter 4 deal with the evolution of a single trait, regarding other traits as fixed. That approach is perfectly reasonable when other traits do not interact with the focal trait, but is limiting and can miss important effects when there is a strong interaction. For example, in Section $6.6$ we consider two traits: the degree of prosociality in a group and the dispersal rate between groups. It is perfectly possible to analyse the evolution of each of these traits in isolation, keeping the other trait fixed. However, the kin relatedness in groups depends on the dispersal rate and the degree of prosociality depends on the kin relatedness, so there is an interaction between the traits. As a consequence, when both are allowed to co-evolve there can be two distinct ESSs. $\Lambda$ t onc ESS, bchaviour within a group is coopcrativc and dispersal is low, and at the other behaviour is more selfish and dispersal is high. This result would not be so obvious if the traits were treated in isolation. In this chapter we consider how traits co-evolve when there is interaction between them.
Multidimensional stability is more complicated than stability in one dimension. Even verifying that a singular point is an ESS requires care since a singular point can be a maximum when approached from one direction but a minimum when approached from another. Both the relative speeds with which traits evolve and the genetic covariance between them can affect whether an ESS is convergence stable. We outline some of these issues in Section 6.1.
In two-player interactions the players can be in well-defined roles, with one player in role 1 and the other role 2 (Section 6.2). Furthermore, it may be reasonable to assume that each recognizes its own role. For example, when animals are territorial and an intruder challenges an established territory owner, it will often be reasonable to assume that the intruder is aware that the animal that it is challenging is the territory owner. When there are two clear-cut roles we are concerned with the co-evolution of two traits: behaviour in role 1 and behaviour in role 2 . There is clearly an interaction between these traits: the best action as an intruder depends on the behaviour of the territory owner. When the traits are continuous the slope of the best response in one role to the trait value in the other role can be thought of as a measure of the strength of interaction of the two traits. These best response slopes are also important in determining the convergence stability of a trait combination. We cnd Scction $6.2$ by showing that the interaction based on roles can result in evolutionary predictions that are different from the analogous scenario without roles, using owner-intruder interactions ás an example.
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Role Asymmetries
There are often well-defined roles in two-player interactions, with one player in each role and each player recognizing its own role. For example, in biparental care the roles are male and female. In a dispute over a territory one individual may be the current territory owner and the other an intruder. In such interactions the role of an individual may directly affect that individual’s payoff. For example, possession of a territory may be more valuable to a territory owner than to an intruder if the owner has already invested time and effort in finding out where food sources in the territory are located. However, as the example of territory ownership presented below illustrates, even without payoff asymmetries, the mere existence of well-defined roles can alter evolutionary predictions.
Each individual might carry genes specifying the behaviour in each role, regardless of the current role of that individual. So, for example, females carry genes that specify what to do in the current situation and might also carry genes that specify what they would have done if male (e.g. if the genes are autosomal). Motivated by this, we define a strategy by a pair of traits $\left(x_1, x_2\right)$ to be adopted in each role. Consider a rare mutant strategy $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}\right)$ in a population with resident strategy $\left(x_1, x_2\right)$. Since the mutant is rare, a mutant in role 1 is partnered by a resident in role 2 . Let $W_1\left(x_1^{\prime}, x_2\right)$ be the mutant’s local payoff in this role. Similarly $W_2\left(x_2^{\prime}, x_1\right)$ is the mutant’s local payoff in role 2. At any time there are an equal number of individuals in each role, so in the simplest setting where roles are independent of the strategy, half of the mutants are in each role. If this is the case we can define a fitness proxy $W$ as
$$
W\left(\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}\right),\left(x_1, x_2\right)\right)=W_1\left(x_1^{\prime}, x_2\right)+W_2\left(x_2^{\prime}, x_1\right),
$$
which we assume is a strong fitness proxy. Let us also assume that the genetic system is such that the evolution of one trait does not constrain the evolution of the other trait. Mutations that alter the value of one of the traits need then not alter the value of the other trait. For this case the best response to a resident strategy should simultaneously maximize the local payoffs $W_1$ and $W_2$. In particular, at a Nash equilibrium $\left(x_1^, x_2^\right)$ we have
$$
W_1\left(x_1^{\prime}, x_2^\right) \leq W_1\left(x_1^, x_2^\right) \quad \text { for all } x_1^{\prime}, $$ and $$ W_2\left(x_2^{\prime}, x_1^\right) \leq W_2\left(x_2^, x_1^\right) \quad \text { for all } x_2^{\prime}
$$
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Co-evolution of Traits
第 4 章中的稳定性分析处理单个性状的演变，将其他性状视为固定的。当其他特征不与焦点特征相互作用时，这种方法是完全合理的，但是当有强烈的相互作用时，这种方法是有限的并且可能会错过重要的影响。例如，在部分6.6我们考虑两个特征：群体中的亲社会程度和群体之间的分散率。完全有可能单独分析这些特征中的每一个的演变，同时保持其他特征不变。但是，群体中的亲属关系取决于分散率，亲社会性程度取决于亲属关系，因此特征之间存在相互作用。因此，当两者都被允许共同进化时，可能会有两个不同的 ESS。大号在 ESS 中，一个群体内的行为是合作性的，分散性低，而在另一个行为中，行为更自私，分散性高。如果单独处理这些性状，这个结果就不会那么明显了。在本章中，我们将考虑当特征之间存在相互作用时，特征如何共同进化。
多维稳定性比一维稳定性更复杂。即使验证奇异点是 ESS 也需要小心，因为从一个方向接近时奇异点可能是最大值，但从另一个方向接近时可能是最小值。性状进化的相对速度和它们之间的遗传协方差都会影响 ESS 是否收敛稳定。我们在第 6.1 节中概述了其中一些问题。
在两人互动中，玩家可以扮演明确定义的角色，一个玩家扮演角色 1，另一个扮演角色 2（第 6.2 节）。此外，假设每个人都承认自己的角色可能是合理的。例如，当动物具有领地意识并且入侵者挑战已建立的领地所有者时，通常可以合理地假设入侵者知道它正在挑战的动物是领地所有者。当有两个明确的角色时，我们关心两个特征的共同进化：角色 1 的行为和角色 2 的行为。这些特征之间显然存在相互作用：作为入侵者的最佳行动取决于领土所有者的行为。当特征是连续的时，一个角色对另一个角色的特征值的最佳反应的斜率可以被认为是两个特征相互作用强度的度量。这些最佳响应斜率对于确定性状组合的收敛稳定性也很重要。我们的选择6.2通过展示基于角色的交互可以导致进化预测与没有角色的类似场景不同，使用所有者-入侵者交互作为示例。
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Role Asymmetries
两人互动中通常有明确定义的角色，每个角色都有一个玩家，每个玩家都认识自己的角色。例如，在双亲 照顾中，角色是男性和女性。在领土争端中，一个人可能是当前的领土所有者，另一个人可能是入侵者。 在这种互动中，个人的角色可能直接影响个人的收益。例如，如果所有者已经投入时间和精力来找出领土 内食物来源的位置，那么拥有领土对领土所有者来说可能比对入侵者更有价值。然而，正如下面展示的领 土所有权示例所示，即使没有回报不对称，仅仅存在明确定义的角色就可以改变进化预测。
每个人都可能携帯指定每个角色行为的基因，无论该人当前的角色如何。因此，例如，女性携帯指定在当 前情况下做什么的基因，也可能携菷指定如果是男性他们会做什么的基因（例如，如果基因是常染色 体) 。受此启发，我们通过一对特征来定义策略 $\left(x_1, x_2\right)$ 被每个角色所采用。考虑一种罕见的突变策略 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}\right)$ 在有居民策略的人口中 $\left(x_1, x_2\right)$. 由于突变体很少见，因此角色 1 的突变体与角色 2 的居民合作。 让 $W_1\left(x_1^{\prime}, x_2\right)$ 成为变种人在这个角色中的局部回报。相似地 $W_2\left(x_2^{\prime}, x_1\right)$ 是突变体在角色 2 中的局部收 益。在任何时候，每个角色都有相同数量的个体，因此在角色独立于策略的最简单设置中，每个角色都有 一半的突变体。如果是这种情况，我们可以定义一个适应度代理 $W$ 作为
$$
W\left(\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}\right),\left(x_1, x_2\right)\right)=W_1\left(x_1^{\prime}, x_2\right)+W_2\left(x_2^{\prime}, x_1\right),
$$
我们假设这是一个强大的健身代理。让我们还假设遗传系统是这样的，即一种性状的进化不会限制另一种 性状的进化。改变其中一个性状价值的突变不需要改变另一个性状的价值。在这种情况下，对驻地策略的 最佳响应应该同时最大化本地收益 $W_1$ 和 $W_2$. 特别是在纳什均衡 \left(x_1^, $x_{-} 2^{\wedge} \backslash$ right $)$ 㧴们有
和
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