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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Convergence Stability with a Role Asymmetry
Suppose the trait in each role is continuous. Let the payoff to a rare mutant with strategy $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}\right)$ in a population with resident strategy $\left(x_1, x_2\right)$ be given by eq (6.4). Assume that for each $x_2$ the local payoff $W_1\left(x_1^{\prime}, x_2\right)$ has a strict maximum at $x_1^{\prime}=\hat{b}_1\left(x_2\right)$ satisfying
$$
\frac{\partial W_1}{\partial x_1^{\prime}}\left(\hat{b}_1\left(x_2\right), x_2\right)=0 \text { and } \frac{\partial^2 W_1}{\partial x_1^{\prime 2}}\left(\hat{b}_1\left(x_2\right), x_2\right)<0 .
$$
The local best response $\hat{b}_2\left(x_1\right)$ in role 2 has analogous properties. Let $x_1^=\hat{b}_1\left(x_2^\right)$ and $x_2^=\hat{b}_2\left(x_1^\right)$, so that $\left(x_1^, x_2^\right)$ is an ESS. We analyse the convergence stability of this equilibrium in terms of the slopes of the local best response functions.
We first give an intuitive argument. Suppose that initially trait 1 has a value $x_1(0)$ that is close to, but not equal to $x_1^$. Trait 2 then evolves to be the local best response to this trait 1 value, after which trait 1 evolves to be the best response to this trait 2 value, and so on. In this way we obtain a sequence $x_1(0), x_1(1), x_1(2), \ldots$ of trait 1 values where $x_1(n)=\hat{b}_1\left(\hat{b}_2\left(x_1(n-1)\right)\right)$. As Fig. $6.1$ illustrates, the sequence of trait 1 values converges on $x_1^$ if the function $B$ given by $\left.B\left(x_1\right)=\hat{b}_1\left(\hat{b}_2\left(x_1\right)\right)\right)$ has a derivative that satisfies $B^{\prime}\left(x_1^\right)<1$. Conversely, if $B^{\prime}\left(x_1^\right)>1$ the sequence moves away from $x_1^$. Since $B^{\prime}\left(x_1^\right)=\hat{b}_1^{\prime}\left(x_2^\right) \hat{b}_2^{\prime}\left(x_1^\right)$ this suggests that
$\hat{b}_1^{\prime}\left(x_2^\right) \hat{b}_2^{\prime}\left(x_1^\right)<1 \Longrightarrow\left(x_1^*, x_2^*\right)$ is convergence stable $\hat{b}_1^{\prime}\left(x_2^*\right) \hat{b}_2^{\prime}\left(x_1^*\right)>1 \Longrightarrow\left(x_1^, x_2^\right)$ is not convergence stable.
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Territory Owner Versus Intruder
Suppose that a territory owner and an intruder contest the owner’s territory. Each must choose either to play Hawk or Dove. The outcomes and payoffs to each are exactly as in the standard Hawk-Dove game (Section 3.5). In particular possession of this territory is worth $V$ to both contestants and the cost of losing a fight is $C$. We assume that $V<C$, so that in the game without role asymmetries $p^*=V / C$ is the unique Nash equilibrium and is also an ESS (Section 4.1).
For this game there are two traits. Trait 1 is the probability, $p_1$, of playing Hawk when in the role of territory owner and trait 2 is the probability, $p_2$, of playing Hawk as an intruder. Suppose that the resident strategy is $\left(p_1, p_2\right)$. Then the best trait 1 response (i.e. the best response as an owner) only depends on the resident trait 2 value (behaviour of intruders). Following the analysis of the standard HawkDove game we see that it is given by $\hat{p}_1=1$ if $p_2V / C$, and is any probability of playing Hawk if $p_2=V / C$. The best trait 2 response is similarly $\hat{p}_2=1$ if $p_1V / C$, and is any probability of playing Hawk if $p_1=V / C$. At a Nash equilibrium $p_1^$ must be a trait 1 best response to $p_2^$ and vice versa. It can be seen that there are three Nash equilibria, $(1,0),(0,1)$, and $(V / C, V / C)$. At the first Nash equilibrium owners always play Hawk and intruders always play Dove. Since the action in each role is the unique best response to the resident strategy, this Nash equilibrium is also an ESS. Similarly, the strategy $(0,1)$ that specifies play Dove as owner and Hawk as intruder is an ESS. At the third Nash equilibrium both owners and intruders play Hawk with probability $V / C$. In Section $4.1$ we saw that the strategy $p^*=V / C$ is an ESS for the standard HawkDove game. This was hecause, although mutants do equally well as residents against residents, once a mutation becomes common mutants play against other mutants and do less well than residents do against mutants. In the current game consider a mutation that, say, changes the aggressiveness when in the role of territory owner; i.e. a mutant’s strategy is $\left(p_1^{\prime}, V / C\right)$ where $p_1^{\prime} \neq V / C$. As before, mutants do equally well as residents against residents. Now, however, when two mutants play against one another, one is in the role of the intruder and plays Hawk with probability $V / C$ just as residents do. Thus mutants do as well as residents even when they become common. Mutants can therefore invade by random drift and the Nash equilibrium is not an ESS.
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Convergence Stability with a Role Asymmetry
假设每个角色的特征是连续的。用策略让桸有突变体获得回报 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}\right)$ 在有居民策略的人口中 $\left(x_1, x_2\right)$ 由 eq (6.4) 给出。假设对于每个 $x_2$ 当地收益 $W_1\left(x_1^{\prime}, x_2\right)$ 有一个严格的最大值 $x_1^{\prime}=\hat{b}1\left(x_2\right)$ 令人满意的 $$ \frac{\partial W_1}{\partial x_1^{\prime}}\left(\hat{b}_1\left(x_2\right), x_2\right)=0 \text { and } \frac{\partial^2 W_1}{\partial x_1^{\prime 2}}\left(\hat{b}_1\left(x_2\right), x_2\right)<0 . $$ 本地最佳响应 $\hat{b}_2\left(x_1\right)$ 在角色 2 中具有类似的属性。让 $\mathrm{x}{-} 1^{\wedge}=\backslash$ hat $\left{(b}_{-}\right.$1\left( $\left(\mathrm{x}{-} 2^{\wedge} \backslash\right.$ \right) 和 分析该平衡的收敛稳定性。 我们首先给出一个直观的论证。假设最初的特征 1 有一个值 $x_1(0)$ 接近但不等于 $\mathrm{x}{-} 1^{\wedge}$. 然后特征 2 演变为 对该特征 1 值的同部最佳响应，之后特征 1 演变为对该特征 2 值的最佳响应，依此类推。这样我们就得到 了一个序列 $x_1(0), x_1(1), x_1(2), \ldots$ 特征 1 的值 $x_1(n)=\hat{b}_1\left(\hat{b}_2\left(x_1(n-1)\right)\right)$. 如图。6.1说明，特征 1
敛稳定吗
是收敛稳定的。
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Territory Owner Versus Intruder
假设领土所有者和入侵者争夺所有者的领土。每个人都必须选择玩鹰或鸹子。每个人的结果和回报与标准 的䧹鸽游戏 (第 $3.5$ 节) 完全相同。特别是拥有这片领土是值得的 $V$ 对参褰者来说，输掉一场比赛的代价 是 $C$. 我们假设 $V=V / C$ 是唯一的肭什均衡，也是一个 ESS（第 $4.1$ 节)。 这个游戏有两个特点。特征 1 是概率， $p_1$ ，在担任领地所有者和特质 2 的角色时扮演䧹的概率是 $p_2$ ，扮演 䧹作为入侵者。假设驻留策略是 $\left(p_1, p_2\right)$. 那么最佳特征 1 响应 (即作为所有者的最佳响应) 仅取决于常驻 特征 2 值 (入侵者的行为) 。通过对标准 HawkDove 游戏的分析，我们看到它由下式给出 $\hat{p}1=1$ 如果 $p_2 V / C$ ，并且是任何玩鹰的概率，如果 $p_2=V / C$. 最好的 trait 2 反应是类似的 $\hat{p}_2=1$ 如果 $p_1 V / C$ ，并 且是任何玩䧹的概率，如果 $p_1=V / C$. 在纳什均衡 $p{-} 1^{\wedge}$ 必须是一个特质 1 最好的回应 $p_{-} 2^{\wedge}$ 反之亦然。 可以看出存在三个纳什均衡， $(1,0),(0,1)$ ，和 $(V / C, V / C)$. 在最初的纳什均衡中，所有者总是扮演 䧹，而入侵者总是扮演鸽子。由于每个角色的行动都是对驻地策略的唯一最佳响应，因此这个纳什均衡也 是一个ESS。同样，该策略 $(0,1)$ 将 play Dove 指定为所有者并将 Hawk 指定为入侵者是 ESS。在第三个纳 什均衡中，所有者和入侵者都有概率玩鹰 $V / C$. 在部分 $4.1$ 我们看到该策略 $p^=V / C$ 是标准 HawkDove 游戏的 ESS。这是因为，尽管突变体与居民对抗居民的表现一样好，但一旦突变成为常见的突变体，它们 与其他突变体对抗并且表现不如居民对抗突变体。在当前的游戏中，考虑一个突变，例如，在担任领地所 有者角色时会改变攻击性；即突变体的策略是 $\left(p_1^{\prime}, V / C\right)$ 在哪里 $p_1^{\prime} \neq V / C$. 和以前一样，突变体与居民 对抗居民一样好。然而现在，当两个变种人互相对战时，一个扮演入侵者的角色，并有可能扮演霍克 $V / C$ 就像居民一样。因此，即使变种人变得普遍，他们的表现也和居民一样好。因此，突变体可以通过 随机漂移入侵，纳什均衡不是 ESS。
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