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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Control, Score, and Constraint

Here, we consider the general question: How to find a system dynamics that optimizes a desired pertinent quantity? One can define a control problem in terms of control parameters, a score $P$ that measures the success of control optimization, and a constraint $E$ (e.g., the energy allotted for control), as detailed below.

The real control parameters $f_l(1 \leq l \leq N)$ form an $N$-dimensional vector $\boldsymbol{f}$. In the case of time-dependent control, the $f_l(\tau)$ parameterize the system Hamiltonian or the unitary evolution operator as
$$
\hat{H}{\mathrm{S}}=\hat{H}{\mathrm{S}}[f(\tau)], \quad \hat{U}(\tau)=\mathrm{T} e^{-(i / \hbar) \int_0^\tau d \tau^{\prime} \hat{H}\left(\tau^{\prime}\right)} \equiv \hat{U}[\boldsymbol{f}(\tau)] .
$$
Such parameterization of $\hat{U}$ circumvents the complication of time-ordered integration of its exponent. The evolution operator $\hat{U}(\tau)$ thus obtained can then be used to calculate the system Hamiltonian
$$
\hat{H}_{\mathrm{S}}(\tau)=i \hbar\left[\frac{\partial}{\partial \tau} \hat{U}(\tau)\right] \hat{U}^{\dagger}(\tau) .
$$

The score $P$ that measures the success of controlling the quantity of interest can be written as a real-valued functional of the system state $\hat{\varrho}(t)$ at the time $t_{\mathrm{f}}$ when the control ends. This score may be, for example, the maximal fidelity of a given pure state $|\Psi\rangle$ under bath-induced decoherence, $F_{|\Psi\rangle}=\langle\Psi|\hat{\varrho}| \Psi\rangle$. Alternatively, the score may be the maximal concurrence $\mathrm{Co}$
$$
C o_{\left|\Psi_{\mathrm{A} B}\right\rangle}=\left[2\left(1-\operatorname{Tr}{\hat{A}}^2\right)\right]^{1 / 2}, \quad \hat{\varrho}{\mathrm{A}}=\operatorname{Tr}{\mathrm{B}}\left|\Psi{\mathrm{AB}}\right\rangle\left\langle\Psi_{\mathrm{AB}}\right|,
$$
which is a measure of the entanglement of a bipartite state $\left|\Psi_{\mathrm{AB}}\right\rangle$. More generally, the score may be the maximum value of any real-valued function $P[\hat{\varrho}(t)]$ in the time interval $\left[0, t_{\mathrm{f}}\right]$,
$$
P=\max {t \in\left[0, t_t\right]} P[\hat{\varrho}(t)] . $$ The choice of a constraint that is generally required to ensure the existence of a physical solution for the control is dictated by the most critical source of error. A possible constraint is the average speed with which the controls change, $$ E=\hbar \int_0^t d \tau \dot{\boldsymbol{f}}^2(\tau), $$ which depends on the control spectral bandwidth. Another choice is the meansquared modulation energy, $$ E=\hbar^{-1} \int_0^{t_f} d \tau\left\langle(\Delta \hat{H})^2(\tau)\right\rangle{\mathrm{id}},
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Fixed Time Approach

Our goal is to achieve, by means of classical control fields, a time dependence of the system Hamiltonian within the interval $\left[0, t_{\mathrm{f}}\right]$ that sets the score $P\left(t_{\mathrm{f}}\right)=P\left[\hat{\varrho}\left(t_{\mathrm{f}}\right)\right]$ at a desired value in the presence of the bath. This should be the optimal (maximal or minimal) value of the score $P\left(t_{\mathrm{f}}\right)$. If the initial system state $\hat{\varrho}(0)$ is given, then the change in the score $\Delta P=P\left(t_f\right)-P(0)$ due to the effects of control and the bath can be used instead of $P\left(t_{\mathrm{f}}\right)$ as the score. To first order in the Taylor expansion of the score change as a function of the state change $\Delta \hat{\varrho}=\hat{\varrho}\left(t_f\right)-\hat{\varrho}(0)$ in a chosen basis, we have
$$
\Delta P \approx \sum_{m, n} \frac{\partial P}{\partial \varrho_{m n}} \Delta \varrho_{m n}=\operatorname{Tr}(\hat{P} \Delta \hat{\varrho}) .
$$
Here, the coefficients

$$
\left.\frac{\partial P}{\partial \varrho_{m n}}\right|{t=0} \equiv(\hat{P}){n m}
$$
are the matrix elements (in the chosen basis) of a Hermitian operator $\hat{P}$, which is the gradient of $P[\hat{\varrho}(t)]$ with respect to $\hat{\varrho}$ at $t=0$ :
$$
\hat{P}=\left.\left(\nabla_{\hat{e}} P\right)\right|{t=0}=\left.(\partial P / \partial \hat{\varrho})\right|{t=0}=0 .
$$
The operator $\hat{P}$ contains the complete information on the controlled variable. The transposition in (12.11a) allows us to express the sum over the entries (the Hadamard matrix product) in (12.10) as a trace of the operator product $\hat{P} \Delta \hat{\varrho}$. Equation (12.10) holds when $\Delta \hat{\varrho}$ and $\Delta P$ are small, which implies weak system-bath coupling. The score change $\Delta P$ then quantifies the bath effects and not the internal system dynamics.

If $P$ is the state purity, $P=\operatorname{Tr}\left(\hat{\varrho}^2\right)$, then (12.11a) is proportional to the state, $\hat{P}=2 \hat{\varrho}(0)$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|PHYS2712

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Control, Score, and Constraint

在这里,我们考虑一般问题: 如何找到优化所需相关量的系统动力学? 可以根据控制参数、分数来定义控 制问题 $P$ 衡量控制优化的成功和约束 $E$ (例如,分配给控制的能量),如下详述。
实际控制参数 $f_l(1 \leq l \leq N)$ 形成一个 $N$ 维向量 $f$. 在时间相关控制的情况下, $f_l(\tau)$ 将系统哈密顿量或酉 演化算子参数化为
$$
\hat{H} \mathrm{~S}=\hat{H} \mathrm{~S}[f(\tau)], \quad \hat{U}(\tau)=\mathrm{T} e^{-(i / \hbar) \int_0^\tau d \tau^{\prime} \hat{H}\left(\tau^{\prime}\right)} \equiv \hat{U}[\boldsymbol{f}(\tau)] .
$$
这种参数化 $\hat{U}$ 规避了其指数的时间顺序积分的复杂性。进化算子 $\hat{U}(\tau)$ 这样得到的然后可以用来计算系统哈 密顿量
$$
\hat{H}S(\tau)=i \hbar\left[\frac{\partial}{\partial \tau} \hat{U}(\tau)\right] \hat{U}^{\dagger}(\tau) . $$ 分数 $P$ 衡量控制感兴趣数量的成功程度可以写成系统状态的实值泛函 $\varrho(t)$ 当时 $t{\mathrm{f}}$ 当控制结束时。例如,该 分数可以是给定纯状态的最大保真度 $|\Psi\rangle$ 在浴引起的退相干下, $F_{\Psi\rangle}=\langle\Psi|\hat{\varrho}| \Psi\rangle$. 或者,分数可以是最大 并发Co
$$
C o_{\left|\Psi_{A B}\right\rangle}=\left[2\left(1-\operatorname{Tr} \hat{A}^2\right)\right]^{1 / 2}, \quad \hat{\varrho} \mathrm{A}=\operatorname{Tr} \mathrm{B}|\Psi \mathrm{AB}\rangle\left\langle\Psi_{\mathrm{AB}}\right|,
$$
这是一个二分状态纠細的量度 $\left|\Psi_{\mathrm{AB}}\right\rangle$. 更一般地,分数可以是任何实值函数的最大值 $P[\hat{\varrho}(t)]$ 在时间间隔内 $\left[0, t_{\mathrm{f}}\right]$,
$$
P=\max t \in\left[0, t_t\right] P[\hat{\varrho}(t)] .
$$
确保控制的物理解决方案的存在通常需要的约束的选择是由最关键的误差源快定的。一个可能的约束是控 制变化的平均速度,
$$
E=\hbar \int_0^t d \tau \dot{f}^2(\tau),
$$
这取决于控制光缙帯宽。另一种选择是均方调制能量,
$$
E=\hbar^{-1} \int_0^{t_f} d \tau\left\langle(\Delta \hat{H})^2(\tau)\right\rangle \mathrm{id}
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Fixed Time Approach

我们的目标是通过经典控制场实现系统哈密顿量在区间内的时间依赖性 $\left[0, t_{\mathrm{f}}\right]$ 设定分数 $P\left(t_{\mathrm{f}}\right)=P\left[\hat{\varrho}\left(t_{\mathrm{f}}\right)\right]$ 在存在浴的情况下达到所需的值。这应该是分数的最佳 (最大或最小) 值 $P\left(t_{\mathrm{f}}\right)$. 如果初始系统状态 $\hat{\varrho}(0)$ 给出,那么分数的变化 $\Delta P=P\left(t_f\right)-P(0)$ 由于控制的影响,可以使用浴缸代替 $P\left(t_{\mathrm{f}}\right)$ 作为分数。作为 状态变化的函数的分数变化的泰勒展开中的一阶 $\Delta \hat{\varrho}=\hat{\varrho}\left(t_f\right)-\hat{\varrho}(0)$ 在选定的基础上,我们有
$$
\Delta P \approx \sum_{m, n} \frac{\partial P}{\partial \varrho_{m n}} \Delta \varrho_{m n}=\operatorname{Tr}(\hat{P} \Delta \hat{\varrho}) .
$$
这里,系数
$$
\frac{\partial P}{\partial \varrho_{m n}} \mid t=0 \equiv(\hat{P}) n m
$$
是 Hermitian 算子的矩阵元素 (在选定的基础上) $\hat{P}$ ,这是梯度 $P[\hat{\varrho}(t)]$ 关于 $\varrho$ 在 $t=0$ :
$$
\hat{P}=\left(\nabla_{\hat{\epsilon}} P\right)|t=0=(\partial P / \partial \hat{\varrho})| t=0=0 .
$$
运营商 $\hat{P}$ 包含有关受控变量的完整信息。(12.11a) 中的转置允许我们将 (12.10) 中的项 (Hadamard 矩阵乘 积) 的总和表示为算子乘积的迹 $\hat{P} \Delta \hat{\varrho}$. 等式 (12.10) 成立时 $\Delta \hat{\varrho}$ 和 $\Delta P$ 很小,这意味着系统-浴耦合较弱。 分数变化 $\Delta P$ 然后量化浴效应而不是内部系统动力学。
如果 $P$ 是状态纯度, $P=\operatorname{Tr}\left(\hat{\varrho}^2\right)$ ,则 (12.11a) 与状态成正比, $\hat{P}=2 \hat{\varrho}(0)$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考

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