物理代写|热力学代写thermodynamics代考|MECH3024

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamically Modified Dephasing due to a Quantum Bath

The foregoing results, obtained for dephasing due to classical noise (frequency fluctuations), remain valid, under proper substitutions, for $\sigma_z$-coupling to a quantum bath. Namely, (11.26) is then
$$
H_{\mathrm{I}}=\sigma_z B .
$$
Upon performing calculations similar to those made in Section 11.3.3, we obtain that in the absence of modulations, (11.166) and (11.168) remain valid if we substitute
$$
\Phi_{\mathrm{r}}(t) \rightarrow \Phi_{\mathrm{s}}(t) / 2
$$
where
$$
\Phi_{\mathrm{s}}(t)=2 \operatorname{Re} \Phi_T(t)=\langle\tilde{B}(t) \tilde{B}(0)+\tilde{B}(0) \tilde{B}(t)\rangle_{\mathrm{B}}
$$
is the symmetrized bath correlation function. Then, in (11.166) and (11.168) [cf. (11.167) and (11.180)]
$$
\gamma_{\mathrm{d} 0}(t)=2 \int_0^t \Phi_{\mathrm{s}}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
$$
The spectrum of $\Phi_{\mathrm{s}}(t)$ [cf. (11.38)] is the symmetrized bath-response spectrum,
$$
G_{\mathrm{s}}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d t \Phi_{\mathrm{s}}(t) e^{i \omega t}=G_T(\omega)+G_T(-\omega) .
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamical Decoupling

The dynamical control of dephasing considered above requires $\Omega(t)$ never to become too small [see (11.177)]. An alternative control method, called dynamical decoupling (DD), employs short $\pi$-pulses. Originally, DD was suggested for dephasing due to bosonic baths or a classical Gaussian noise, where an exact solution can be obtained. Here, we use our general approach to show that the same theory holds for arbitrary baths, if only the system-bath coupling is sufficiently weak.

We assume the interaction-picture Hamiltonian (11.134) to have $\bar{\epsilon}(t)=1$ and
$$
\Omega(t)=\pi \sum_{i=1,2, \ldots} \delta\left(t-t_i\right) \quad\left(0<t_1<t_2<\ldots\right),
$$
corresponding to a sequence of impulsive (infinitely short) $\pi$-pulses that are not necessarily equidistant. We next transform this Hamiltonian to a doubly rotating frame by the unitary transformation,
$$
U_{\mathrm{dr}}(t)=\exp \left[-\frac{i}{2} \int_0^t d t^{\prime} \Omega\left(t^{\prime}\right) \sigma_x\right]= \begin{cases}(-1)^k, & n(t)=2 k, \ (-1)^k i \sigma_x, & n(t)=2 k-1,\end{cases}
$$
where $k$ is an integer and $n(t)=\sum_i \theta\left(t-t_i\right)$ is the number of the pulses in the interval $(0, t)$. Then, the Hamiltonian becomes
$$
\tilde{H}(t)=\epsilon(t) \sigma_z \tilde{B}(t)
$$
where
$$
\epsilon(t)=e^{i \phi(t)}=(-1)^{n(t)},
$$
$\phi(t)$ being given by the second line in (11.142).
We can now employ the universal ME (11.45), with $H_{\mathrm{S}}=0$ and $\tilde{S}(\tau, t)=$ $S(t)=\epsilon(t) \sigma_z .$ It has then the form
$$
\dot{\rho}=\frac{1}{2} \gamma_{\mathrm{d}}^{\prime}(t)\left(\sigma_z \rho \sigma_z-\rho\right)
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|MECH3024

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamically Modified Dephasing due to a Quantum Bath

上述结果,由于经典噪声 (频率波动) 而获得的相移,在适当的替换下仍然有效, $\sigma_z$-耦合到量子浴。 即,(11.26) 是
$$
H_{\mathrm{I}}=\sigma_z B
$$
在执行类似于第 $11.3 .3$ 节中所做的计算后,我们得到在没有调制的情况下,如果我们替换,(11.166) 和 (11.168) 仍然有效
$$
\Phi_{\mathrm{r}}(t) \rightarrow \Phi_{\mathrm{s}}(t) / 2
$$
在哪里
$$
\Phi_{\mathrm{s}}(t)=2 \operatorname{Re} \Phi_T(t)=\langle\tilde{B}(t) \tilde{B}(0)+\tilde{B}(0) \tilde{B}(t)\rangle_{\mathrm{B}}
$$
是对称浴相关函数。然后,在 (11.166) 和 (11.168) [cf. (11.167) 和 (11.180)]
$$
\gamma_{\mathrm{d} 0}(t)=2 \int_0^t \Phi_{\mathrm{s}}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
$$
的光谱 $\Phi_{\mathrm{s}}(t)$ [参见。(11.38)] 是对称的浴响应谱,
$$
G_{\mathrm{s}}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d t \Phi_s(t) e^{i \omega t}=G_T(\omega)+G_T(-\omega)
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamical Decoupling

上面考虑的相移动态控制需要 $\Omega(t)$ 永远不要变得太小[ (11.177) ]。另一种称为动态解耦 (DD) 的控制方 法采用短 $\pi$-脉冲。最初,由于玻色子浴或经典的高斯噪声,建议使用 DD 进行移相,在这种情况下可以获 得精确的解。在这里,我们使用我们的一般方法来证明相同的理论适用于任意浴,只要系统-浴耦合足够 弱。
我们假设交互图哈密顿量 (11.134) 有 $\bar{\epsilon}(t)=1$ 和
$$
\Omega(t)=\pi \sum_{i=1,2, \ldots} \delta\left(t-t_i\right) \quad\left(0<t_1<t_2<\ldots\right),
$$
对应于一系列沖动 (无限短) $\pi$ – 不一定等距的脉冲。接下来,我们通过酉变换将此哈密顿量转换为双重旋 转框架,
$$
U_{\mathrm{dr}}(t)=\exp \left[-\frac{i}{2} \int_0^t d t^{\prime} \Omega\left(t^{\prime}\right) \sigma_x\right]=\left{(-1)^k, \quad n(t)=2 k,(-1)^k i \sigma_x, \quad n(t)=2 k-1,\right.
$$
在哪里 $k$ 是一个整数并且 $n(t)=\sum_i \theta\left(t-t_i\right)$ 是间隔中的脉冲数 $(0, t)$. 然后,哈密顿量变为
$$
\tilde{H}(t)=\epsilon(t) \sigma_z \tilde{B}(t)
$$
在哪里
$$
\epsilon(t)=e^{i \phi(t)}=(-1)^{n(t)},
$$
$\phi(t)$ 由 (11.142) 中的第二行给出。
我们现在可以使用通用 ME (11.45),其中 $H_{\mathrm{S}}=0$ 和 $\tilde{S}(\tau, t)=S(t)=\epsilon(t) \sigma_z$. 然后它有形式
$$
\dot{\rho}=\frac{1}{2} \gamma_{\mathrm{d}}^{\prime}(t)\left(\sigma_z \rho \sigma_z-\rho\right)
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考

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