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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamical “Filter Function” Control
In what follows, we consider several generic phase-modulation spectra that may act as spectral “filter functions,” which modify decay or relaxation rates. All modulations are taken to be quasiperiodic, namely, the quantity $\epsilon(t)=\varepsilon(t)$ in (11.141) [with $\tilde{\epsilon}(t)=1$ ] has the form,
$$
\epsilon(t)=e^{i \phi(t)}=\sum_q \epsilon_q e^{i v_q t},
$$
$v_q(q=0, \pm 1, \ldots)$ being arbitrary discrete frequencies such that
$$
\left|v_q-v_{q^{\prime}}\right| \geq \Omega_0 \quad \forall q \neq q^{\prime},
$$
with the minimal spectral interval $\Omega_0$. The complex coefficients $\epsilon_q$ satisfy $\sum_q\left|\epsilon_q\right|^2=1$.
Since it is not necessarily periodic, (11.204) is more general than (11.76). Nevertheless, the derivation leading to (11.104) still holds. Thus, the relaxation rates are dynamically modified at long times as
$$
\gamma_{e(g)}=2 \pi \sum_q\left|\epsilon_q\right|^2 G_T\left(\pm \omega_q\right) .
$$
These long-time limits are approached when
$$
\Omega_0 t \gg 1, \quad t \gg t_{\mathrm{c}} \equiv \max q\left{1 / \xi_q\right} . $$ Here, the bath-memory (correlation) time $t{\mathrm{c}}$ is defined as the inverse of the narrowest spectral interval $\xi_q$ over which $G_T(\omega)$ changes appreciably near the relevant frequencies $\omega_q$ [Fig. 11.5(a)]. Thus, the correlation time $t_{\mathrm{c}}$ depends on the modulation frequencies $\omega_q$. The quasiperiodic modulation (11.204) is thus a filter function that shifts or splits the TLS resonant response at frequency $\omega_{\mathrm{a}}$ or 0 for $\mathrm{AN}$ or PN, respectively, converting it into peaks at the frequencies $\omega_q$ : The relaxation rate (11.206) is “filtered” by the modulation spectrum that assigns the desired weight $\left|\epsilon_q\right|^2$ to the coupling spectrum value at the frequency $\omega_q$ (Fig. 11.5).
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Phase Modulation (PM) of the Coupling for AN Control
A monochromatic (CW) modulation control of AN yields a constant frequency shift $\delta_{\mathrm{a}}$, so that
$$
\epsilon(t)=e^{-i\left(\omega_\alpha+\delta_\alpha\right) t},
$$
resulting in the upper state decay rate
$$
\gamma_e=2 \pi G_T\left(\omega_{\mathrm{a}}+\delta_{\mathrm{a}}\right)
$$
Such a shift is induced by the AC Stark effect of the control field (for atoms) or by the Zeeman effect (for spins). This shift may either enhance or suppress the Golden-Rule decay rate,
$$
\gamma_{\mathrm{GR}}=2 \pi G_T\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)
$$
Equation (11.212) yields the maximal change of the decay rate achievable by external control, since it does not involve any smoothing of the bath response (coupling spectrum) $G_T(\omega)$ incurred by the width of the filter function $F_I(\omega)$. The modified $\gamma$ can vanish, if the shifted frequency $\omega_{\mathrm{a}}+\delta_{\mathrm{a}}$ is beyond the cutoff frequency of the bath coupling spectrum, where $G_T(\omega)=0$ [Fig. 11.5(d)]. Conversely, the increase of $\gamma$ due to a shift $\delta_{\mathrm{a}}$ can exceed that achievable by repeated measurements, that is, the anti-Zeno effect (AZE) (Ch. 10). However, AC Stark shifts are usually small for CW perturbations. Typically, only pulsed perturbations may result in multiple shifted frequencies $\omega_q$ of the coupling spectrum as per (11.206).
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Dynamical “Filter Function” Control
在下文中，我们考虑了几个通用的相位调制光谱，它们可以作为光谱“过滤函数”，修改䯧减或弛豫率。所 有的调制都被认为是准周期的，即量 $\epsilon(t)=\varepsilon(t)$ 在 (11.141) [与 $\tilde{\epsilon}(t)=1]$ 有形式，
$$
\epsilon(t)=e^{i \phi(t)}=\sum_q \epsilon_q e^{i v_q t}
$$
$v_q(q=0, \pm 1, \ldots)$ 是任意离散频率，使得
$$
\left|v_q-v_{q^{\prime}}\right| \geq \Omega_0 \quad \forall q \neq q^{\prime},
$$
具有最小光谱间隔 $\Omega_0$. 腹系数 $\epsilon_q$ 满足 $\sum_q\left|\epsilon_q\right|^2=1$.
由于它不一定是周期性的，因此 (11.204) 比 (11.76) 更普遍。尽管如此，导致 (11.104) 的推导仍然成立。 因此，松弛率在很长一段时间内被动态修改为
$$
\gamma_{e(g)}=2 \pi \sum_q\left|\epsilon_q\right|^2 G_T\left(\pm \omega_q\right) .
$$
当接近这些长期限制时
这里，浴记忆 (相关) 时间 $t$ 被定义为最窂谱区间的倒数 $\xi_q$ 在之上 $G_T(\omega)$ 在相关频率附近发生明显变化 $\omega_q$ [图。11.5(a)]。因此，相关时间 $t_{\mathrm{c}}$ 取决于调制频率 $\omega_q$. 因此，准周期调制 (11.204) 是一种滤波器函数， 可在频率上移动或拆分 TLS 谐振响应 $\omega_{\mathrm{a}}$ 或 0 表示AN或 $\mathrm{PN}$ ，分别将其转换为频率处的峰值 $\omega_q$ : 松弛率 (11.206) 由分配所需权重的调制频谱”过滤” $\left|\epsilon_q\right|^2$ 到频率处的耦合谱值 $\omega_q$ (图 11.5)。
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Phase Modulation (PM) of the Coupling for AN Control
$\mathrm{AN}$ 的单色 $(\mathrm{CW})$ 调制控制产生恒定的频移 $\delta_{\mathrm{a}}$ ， 以便
$$
\epsilon(t)=e^{-i\left(\omega_\alpha+\delta_\alpha\right) t},
$$
导致上状态事减率
$$
\gamma_e=2 \pi G_T\left(\omega_{\mathrm{a}}+\delta_{\mathrm{a}}\right)
$$
这种转变是由控制场的 AC Stark效应 (对于原子) 或塞買效应 (对于自旋) 引起的。这种转变可能会增强 或㧕制黄金法则的訁减率，
$$
\gamma_{\mathrm{GR}}=2 \pi G_T\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)
$$
方程 (11.212) 得出通过外部控制可实现的衰减率的最大变化，因为它不涉及任何对浴响应的平滑（耦合 谱) $G_T(\omega)$ 由滤波器函数的宽度引起 $F_I(\omega)$. 修改后的 $\gamma$ 可以消失，如果移频 $\omega_{\mathrm{a}}+\delta_{\mathrm{a}}$ 超出浴舶合㬐的截止 频率，其中 $G_T(\omega)=0$ [图。11.5(d)]。反之，增加 $\gamma$ 由于换班 $\delta_{\mathrm{a}}$ 可以超过通过重复测量可达到的值，即抗 芝诺效应 (AZE) (第 10 章) 。然而，对于 CW 扰动，AC Stark 频移通常很小。通常，只有脉冲扰动可能导 致多个频移 $\omega_q$ 根据 (11.206) 的耦合谱。
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