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物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Damped Linear Oscillator

Because of the unavoidable friction every oscillating process is exponentially damped unless an additional external force acts. We will now include the latter in our considerations. The equation of motion (2.169) is then to be replaced by
$$
\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega_0^2 x=\frac{1}{m} F(t)
$$
We choose the same denotations as in the last section and restrict ourselves to the important special case of a periodic force:
$$
F(t)=f \cos \bar{\omega} t
$$
One can realize the periodic force by, for instance, a wheel spinning with constant angular velocity and being connected via a drive rod to the oscillating body (Fig. 2.31).

Here again we have an exact non-mechanical realization (Fig. 2.32) by the electrical oscillator circuit if one applies to it a periodic alternating voltage $U_0 \sin \bar{\omega} t$ :
$$
L \ddot{I}+R \dot{I}+\frac{1}{C} I=U_0 \bar{\omega} \cos \bar{\omega} t .
$$

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Arbitrary One-Dimensional Space-Dependent Force

In such a case a general procedure for solving the equation of motion
$$
m \ddot{x}=F(x)
$$
can be developed that ultimately reduces the problem to so-called ‘quadratures’, i.e. to the explicit evaluation of well-defined integrals. This method leads at first to purely mathematically defined auxiliary quantities (e.g. constants of integration), which, however, later will acquire fundamental physical meanings, such as energy, potential, work, power, ….
We multiply (2.199) with $\dot{x}$ :
$$
m \ddot{x} \dot{x}=F(x) \dot{x}
$$
This can then obviously also be written in the following form:
$$
\frac{d}{d t}\left(\frac{m}{2} x^2\right)=-\frac{d}{d t} V(x)
$$
if one understands by $V(x)$ the following indefinite integral:
$$
V(x)=-\int^x F\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}
$$
$V(x)$ is in a certain sense the antiderivative of the force $F(x)$ being therefore a known quantity except for an additive constant. The minus sign is simply a convention without any deeper physical meaning.

By the integration process the Eq. (2.200) provides a new constant which we want to denote by $E$ :
$$
\frac{m}{2} \dot{x}^2=E-V(x)
$$

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|PHYSICS2532

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Damped Linear Oscillator

由于不可避免的摩擦,除非有额外的外力作用,否则每个振荡过程都会以指数方式詊减。我们现在将后者 纳入我们的考虑范围。然后将运动方程 (2.169) 替换为
$$
\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega_0^2 x=\frac{1}{m} F(t)
$$
我们选择与上一节相同的表示,并将自己限制在周期性力的重要特例中:
$$
F(t)=f \cos \bar{\omega} t
$$
例如,可以通过以恒定角速度旋转并通过驱动杆连接到摆动体的轮子来实现周期性力 (图 2.31)。
如果向其施加周期性交流电压,我们再次通过电振萡器电路获得精确的非机械实现(图 2.32) $U_0 \sin \bar{\omega} t$ :
$$
L \ddot{I}+R \dot{I}+\frac{1}{C} I=U_0 \bar{\omega} \cos \bar{\omega} t .
$$

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Arbitrary One-Dimensional Space-Dependent Force

在这种情况下,求解运动方程的一般程序
$$
m \ddot{x}=F(x)
$$
可以开发最終将问题简化为所谓的 “正交”,即明确定义积分的显式评估。这种方法首先会导致纯数学定义 的辅助量(例如积分常数),然而,后来将获得基本的物理意义,例如能量、势能、功、功率……。 我们将 (2.199) 与 $\dot{x}$ :
$$
m \ddot{x} \dot{x}=F(x) \dot{x}
$$
这显然也可以写成以下形式:
$$
\frac{d}{d t}\left(\frac{m}{2} x^2\right)=-\frac{d}{d t} V(x)
$$
如果有人理解 $V(x)$ 以下不定积分:
$$
V(x)=-\int^x F\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}
$$
$V(x)$ 在某种意义上是力的反导数 $F(x)$ 因此是一个已知量,除了一个附加営数。减号只是一种约定,没有 任何更深层次的物理意义。
通过积分过程,方程式。(2.200) 提供了一个新的常数,我们用它来表示 $E$ :
$$
\frac{m}{2} \dot{x}^2=E-V(x)
$$

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