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物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Simple Pendulum
As an additional simple problem of dynamics we will now discuss the simple (thread) pendulum (Fig. 2.20), which sometimes is also called mathematical pendulum because it represents a somewhat mathematical abstraction. One considers the motion of a mass point which is fixed by a massless thread. The latter has a constant length $l$ so that the mass point performs a planar motion on a circular arc with radius $l$. The gravitational force acts on the mass point:
$$
\mathbf{F}=m_{\mathrm{s}} \mathbf{g} ; \quad \mathbf{g}=(g, 0,0) .
$$
The simple pendulum is excellently suited to demonstrate the equivalence of the inertial and the gravitational mass. To show this, we will first distinguish again between these two masses.
The application of plane polar coordinates is the natural choice:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{F} &=F_r \mathbf{e}r+F{\varphi} \mathbf{e}{\varphi} \ F_r &=m_h g \cos \varphi \ F{\varphi} &=-m_h g \sin \varphi
\end{aligned}
$$
The equation of motion written in detail by use of $(2.13)$ reads as:
$$
m_{i n}\left[\left(\ddot{r}-r \dot{\varphi}^2\right) \mathbf{e}r+(r \ddot{\varphi}+2 \dot{r} \dot{\varphi}) \mathbf{e}{\varphi}\right]=\left(F_r+F_{\mathrm{F}}\right) \mathbf{e}r+F{\varphi} \mathbf{e}{\varphi} . $$ $F{\mathrm{F}}$ is called the
‘thread tension’
It is about a so-called ‘constraining force’ which realizes certain ‘constraints’. Here the constraint is the constant distance of the mass point from the center of rotation:
$$
r=l=\text { const } ; \quad \dot{r}=\ddot{r}=0 .
$$
$F_{\mathrm{F}}$ thus prevents the free fall of the mass point and takes care for a static problem in the radial direction:
$$
F_{\mathrm{F}}=-m_{h r} g \cos \varphi-m_{i n} l \dot{\varphi}^2 .
$$
So only the movement in $\mathbf{e}{\varphi}$-direction is of interest: $$ m{\text {in }} l \ddot{\varphi}=-m_h g \sin \varphi \Longrightarrow \ddot{\varphi}+\frac{g}{l} \frac{m_h}{m_{\text {in }}} \sin \varphi=0 .
$$
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Complex Numbers
For the solution of the oscillation equation (2.125) we looked for a function which essentially reproduces itself after twofold differentiation. That happens indeed to the trigonometric functions sine and cosine. But the exponential function, which for a variety of reasons is tractable mathematically easier, also possesses a similar property. However, the ansatz $e^{\alpha t}$ would have led to the conditional equation
$$
e^{\alpha t}\left(\alpha^2+\frac{g}{l}\right)=0 ; \quad e^{\alpha t} \neq 0,
$$
an equation being not solvable for real $\alpha$. The equation becomes, however, solvable if one allows for complex numbers which we did not yet introduce so far.
By application of complex numbers and functions many issues in Theoretical Physics turn out to be mathematically essentially simpler. it is needless to say that all measurable quantities, which we call ‘observables’, are in any case real so that we must be able uniquely to relate real and complex representations. That will be treated in this section.
(a) Imaginary Numbers
The new number type of the imaginary numbers is characterized by the fact that their squares are always negative real numbers.
Definition 2.3.1 ‘Unit of imaginary numbers’
$$
i^2=-1 \Longleftrightarrow i=\sqrt{-1} .
$$
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Simple Pendulum
作为另一个简单的动力学问题，我们现在将讨论简单 (线) 摆 (图 2.20) ，它有时也称为数学摆，因为它 代表了某种数学抽象。考虑由无质量线固定的质点的运动。后者具有恒定的长度 $l$ 使质点在半径为圆弧上做 平面运动 $l$. 重力作用在质点上:
$$
\mathbf{F}=m_{\mathrm{s}} \mathbf{g} ; \quad \mathbf{g}=(g, 0,0) .
$$
简单的钟摆非常适合证明惯性质量和引力质量的等价性。为了证明这一点，我们将首先再次区分这两个质 量。
平面极坐标的应用是自然的选择:
$$
\mathbf{F}=F_r \mathbf{e} r+F \varphi \mathbf{e} \varphi F_r \quad=m_h g \cos \varphi F \varphi=-m_h g \sin \varphi
$$
运动方程详细写成使用 $(2.13)$ 读作:
$$
m_{i n}\left[\left(\ddot{r}-r \dot{\varphi}^2\right) \mathbf{e} r+(r \ddot{\varphi}+2 \dot{r} \dot{\varphi}) \mathbf{e} \varphi\right]=\left(F_r+F_{\mathrm{F}}\right) \mathbf{e} r+F \varphi \mathbf{e} \varphi .
$$
$F F$ 被称为
“线张力”
它是关于实现某些“约束”的所谓”约束力”。这里的约束是质点到旋转中心的恒定距离:
$$
r=l=\text { const } ; \quad \dot{r}=\ddot{r}=0 .
$$
$F_{\mathrm{F}}$ 从而防止质点自由落体并解决径向上的静态问题:
$$
F_{\mathrm{F}}=-m_{h r} g \cos \varphi-m_{\text {in }} l \dot{\varphi}^2 .
$$
所以只有运动e $\varphi$-方向是感兴趣的:
$$
\min l \ddot{\varphi}=-m_h g \sin \varphi \Longrightarrow \ddot{\varphi}+\frac{g}{l} \frac{m_h}{m_{\text {in }}} \sin \varphi=0 .
$$
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Complex Numbers
对于振荡方程 (2.125) 的解，我们寻找一个在二次微分后基本上再现自身的函数。这确实发生在三角函数 正弦和余弦上。但是由于各种原因在数学上更容易处理的指数函数也具有类似的性质。然而，安萨茨 $e^{\alpha t}$ 会导致条件方程
$$
e^{\alpha t}\left(\alpha^2+\frac{g}{l}\right)=0 ; \quad e^{\alpha t} \neq 0,
$$
一个方程不可解 $\alpha$. 然而，如果允许我们迄今尚末引入的筫数，则该等式变得可解。
通过应用复数和函数，理论物理学中的许多问题在数学上变得更加简单。不用说，所有可测量的量，我们 称之为“可观察量”，在任何情况下都是真实的，因此我们必须能㿟唯一地将真实和复杂的表示联系起来。 这将在本节中处理。
(a) 虚数 虚数
的新数字类型的特点是它们的平方总是负实数。
定义 $2.3 .1$ ‘虚数单位’
$$
i^2=-1 \Longleftrightarrow i=\sqrt{-1} .
$$
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