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物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Linear Harmonic Oscillator
The harmonic oscillator belongs to the most important and to the most intensively discussed model systems of Theoretical Physics. The range of its application range far exceeds thee canopy of Classical Mechanics. We will be dealing again and again with this model in Electrodynamics and in particular in Quantum Theory. The relevance of this model lies above all in the fact that it belongs to the very few mathematically strictly tractable systems by which many of the fundamental principles of Theoretical Physics can be illustrated. One understands by the harmonic oscillator a self-oscillating system that obeys a characteristic equation of motion of the same type as that for the simple pendulum (2.125).
In order to discuss the basic phenomena we first have in mind an elastic spring to which a mass point $m$ is attached. For small deflections the mass point experiences a backwards directed force being proportional to the displacement $|x|$. According to the sketched arrangement in Fig. $2.25$ the gravitational force will be ignored. The movement happens one-dimensionally along the spring axis. Then Hooke’s law holds:
$$
F=-k x .
$$
$k$ is the spring constant. As equation of motion er have the following linear homogeneous differential equation:
$$
m \ddot{x}+k x=0 .
$$
In it is the same differential equation as that for the simple pendulum (2.125). From reasons which become clear later the entity
$$
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}
$$
is called eigen frequency of the harmonic oscillator. When a physical system is described by an equation of motion of the type given in (2.157) then we always speak of a linear harmonic oscillator.
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Free Damped Linear Oscillator
Each real oscillator eventually comes to stop because of the unavoidable frictional forces. We therefore want to now include them into our considerations where, however, we will restrict ourselves to the simplest case of the Stokes’s friction. Then the extended equation of motion reads:
$$
m \ddot{x}=-k x-\alpha \dot{x} .
$$
One can realize this situation by a ‘tongue’, dipping into a liquid and being fixed to the mass $m$ (Fig. 2.27). While the frictional term in Eq. (2.167) in general represents a certain approximation, there exists an exact non-mechanical realization of the damped harmonic oscillator by the electrical oscillator circuit. The sum of the partial voltages in the circuit sketched in Fig. $2.28$ must be zero. The electrical current therefore obeys the following differential equation:
$$
\ddot{I}+R \dot{I}+\frac{1}{C} I=0 .
$$
The ohmic resistance $R$ simulates the frictional term.
After division by $m$ we get from ( $2.167$ ) the following homogeneous differential equation of second order:
$$
\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega_0^2 x=0 ; \quad \beta=\frac{\alpha}{2 m} .
$$
As ansatz an exponential function appears again plausible:
$$
x(t)=e^{\lambda t} .
$$
It is exactly then a solution if $\lambda$ fulfills the following relation:
$$
\lambda^2+2 \beta \lambda+\omega_0^2=0 .
$$
Therefrom one finds:
$$
\lambda_{1,2}=-\beta \pm \sqrt{\beta^2-\omega_0^2} .
$$
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Linear Harmonic Oscillator
谐振子属于理论物理学中最重要和讨论最深入的模型系统。它的应用范围远远超过了经典力学的范畴。我 们将在电动力学中，特别是在量子理论中一次又一次地处理这个模型。这个模型的相关性首先在于它属于 极少数数学上严格易处理的系统，通过这些系统可以说明理论物理学的许多基本原理。人们将谐振子理解 为一个自振荡系统，它遵循与单摆 (2.125) 相同类型的运动特征方程。
为了讨论基本现象，我们首先想到一个弹性弹箄，一个质点指向它 $m$ 被附上。对于小的偏转，质点会受到 与位移成正比的反向力 $|x|$. 根据图 1 中的草图布置。2.25引力将被忽略。运动沿弹簧轴一维地发生。那么 胡克定律成立：
$$
F=-k x .
$$
$k$ 是弹簧常数。由于运动方程 er 有以下线性旻次微分方程:
$$
m \ddot{x}+k x=0 .
$$
其中与单摆 (2.125) 的微分方程相同。根据后来变得清楚的原因，实体
$$
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}
$$
称为谐振子的本征频率。当一个物理系统由 (2.157) 中给出的类型的运动方程来描述时，我们总是说线 性谐振子。
物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Free Damped Linear Oscillator
由于不可避免的摩擦力，每个真正的振荡器最終都会停止。因此，我们现在想将它们包括在我们的考虑 中，但是，我们将把自己限制在最简单的斯托克斯摩擦案例中。然后扩展的运动方程为：
$$
m \ddot{x}=-k x-\alpha \dot{x} .
$$
人们可以通过”舌头”来实现这种情况，将其浸入液体中并固定在质量上 $m$ (图 2.27)。而方程式中的摩擦 项。(2.167) 一般表示某种近似，存在一个由电振荡电路对阻尼谐振子的精确非机械实现。图 1 所示电路中 各部分电压的总和。2.28必须为零。因此，电流遵循以下微分方程:
$$
\ddot{I}+R \dot{I}+\frac{1}{C} I=0 .
$$
欧姆电阻 $R$ 模拟摩擦项。
划分后 $m$ 我们从 (2.167) 下面的二阶齐次微分方程:
$$
\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega_0^2 x=0 ; \quad \beta=\frac{\alpha}{2 m} .
$$
在 ansatz 中，指数函数再次出现是合理的:
$$
x(t)=e^{\lambda t}
$$
这正是一个解决方案，如果 $\lambda$ 满足以下关系：
$$
\lambda^2+2 \beta \lambda+\omega_0^2=0 .
$$
从中发现:
$$
\lambda_{1,2}=-\beta \pm \sqrt{\beta^2-\omega_0^2}
$$
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