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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Magnetostatics
In a similar manner, a static formulation can be written for the magnetic induction $\boldsymbol{B}^{\text {stat }}$. By applying the curl operator to equation $\operatorname{curl}\left(\mu^{-1} \boldsymbol{B}^{\text {stat }}\right)=\boldsymbol{J}$, we obtain
$$
\operatorname{curl} \operatorname{curl}\left(\mu^{-1} B^{\text {stat }}\right)=\operatorname{curl} J \text {. }
$$
In a homogeneous medium (for instance, in vacuum $\mu=\mu_0 \rrbracket_3$ ), and using the identity (1.36) again, we obtain the magnetostatic problem
$$
-\Delta \boldsymbol{B}^{\text {stat }}=\mu_0 \text { curl } \boldsymbol{J}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{B}^{\text {stat }}=0,
$$
whose solution, $\boldsymbol{B}^{\text {stat }}$, is called the magnetostatic field. This is a vector Poisson equation, i.e., an elliptic PDE (left Eq.), with a constraint (right Eq.). Again, this formulation leads to problems that are easier to solve than the complete set of Maxwell’s equations.
Note also that one has $\boldsymbol{B}^{\text {stat }}=\operatorname{curl} \boldsymbol{A}^{\text {stat }}$ (see (1.35)). If, moreover, the Coulomb gauge is chosen to remove the indetermination on the vector potential $\boldsymbol{A}^{\text {stat }}$, one finds the alternate magnetostatic problem
$$
-\Delta \boldsymbol{A}^{\text {stat }}=\mu_0 \boldsymbol{J}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{A}^{\text {stat }}=0,
$$
with $\boldsymbol{A}^{\text {stat }}$ as the unknown. Then, one sets $\boldsymbol{B}^{\text {stat }}=\operatorname{curl} \boldsymbol{A}^{\text {stat }}$ to recover the magnetostatic field.
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|A Scaling of Maxwell’s Equations
In order to define an approximate model, one has to neglect one or several terms in Maxwell’s equations. The underlying idea is to identify parameters, whose value can bee small (and thus. possibly négligiblé). To dérive a hiêrarchy of approximate models, one can perform an asymptotic analysis of those equations with respect to the parameters. This series of models is called a hierarchy, since considering a supplementary term in the asymptotic expansion leads to a new approximate model. An analogous principle is used, for instance, to build approximate (paraxial) models when simulating data migration in geophysics modelling (cf. among others $[41,85])$. From a numerical point of view, the approximate models are useful, first and foremost, if they coincide with a physical framework, and second, because in general, they efficiently solve the problem at a lower computational cost.
In the sequel, let us show how to build such approximate models formally (i.e., without mathematical justifications), recovering, in the process, static models, but also other intermediate ones.
Let us consider Maxwell’s equations in vacuum (1.26-1.29). As a first step, we introduce a scaling of these equations based on the following characteristic values:
$\bar{l}:$ characteristic length,
$\bar{t}$ : characteristic time,
$\bar{v}:$ characteristic velocity, with $\bar{v}=\bar{l} / \bar{t}$,
$\bar{E}, \bar{B}$ : scaling for $\boldsymbol{E}$ and $\boldsymbol{B}$,
$\bar{\varrho}, \bar{J}$ : scaling for $\varrho$ and $\boldsymbol{J}$.
In order to build dimensionless Maxwell equations, we set
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{x} &=\bar{l} \boldsymbol{x}^{\prime} \quad \Rightarrow \frac{\partial}{\partial x_i}=\frac{1}{\bar{l}} \frac{\partial}{\partial x_i^{\prime}} \
t &=\bar{t} t^{\prime} \quad \Rightarrow \frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{\bar{t}} \frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \
\boldsymbol{E} &=\bar{E} \boldsymbol{E}^{\prime}, \text { etc. }
\end{aligned}
$$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Magnetostatics
以类似的方式，可以为磁感应编写静态公式 $\boldsymbol{B}^{\text {stat }}$. 通过将 curl 运算符应用于方程 $\operatorname{curl}\left(\mu^{-1} \boldsymbol{B}^{\text {stat }}\right)=\boldsymbol{J}$ ，我们获得
$$
\operatorname{curl} \operatorname{curl}\left(\mu^{-1} B^{\text {stat }}\right)=\operatorname{curl} J .
$$
在均质介质中 (例如，在真空中 $\mu=\mu_0 \backslash \operatorname{rrbracket}_3$ )，并再次使用恒等式 (1.36)，我们得到静磁问题
$$
-\Delta \boldsymbol{B}^{\text {stat }}=\mu_0 \operatorname{curl} \boldsymbol{J}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{B}^{\text {stat }}=0,
$$
谁的解决方案， $\boldsymbol{B}^{\mathrm{stat}}$ ，称为静磁场。这是一个向量泊松方程，即一个椭圆偏微分方程 (左方程)，带有 一个约束 (右方程)。同样，这个公式导致的问题比完整的麦克斯韦方程组更容易解决。
另请注意，一个有 $\boldsymbol{B}^{\text {stat }}=\operatorname{curl} \boldsymbol{A}^{\text {stat }}$ (见（1.35) )。此外，如果选择库仑规范来消除矢量势的不确定 性 $A^{\text {stat }}$ ，发现替代静磁问题
$$
-\Delta A^{\text {stat }}=\mu_0 \boldsymbol{J}, \quad \operatorname{div} A^{\text {stat }}=0,
$$
和 $\boldsymbol{A}^{\text {stat }}$ 作为末知数。然后，一组 $\boldsymbol{B}^{\text {stat }}=\operatorname{curl} \boldsymbol{A}^{\text {stat }}$ 恢复静磁场。
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|A Scaling of Maxwell’s Equations
为了定义一个近似模型，必须忽略麦克斯韦方程中的一项或多项。基本思想是识别参数，其值可能很小
(因此。可能是 négligiblé) 。为了导出近似模型的层次结构，可以对这些方程关于参数进行渐近分析。 这一系列模型称为层次结构，因为在渐近展开中考虑补充项会导致新的近似模型。例如，在模拟地球物理 建模中的数据迁移时，使用类似的原理来构建近似 (近轴) 模型 (参见除其他外) $[41,85]$ ). 从数值的角 度来看，近似模型是有用的，首先，如果它们与物理框架一致，其次，因为一般来说，它们以较低的计算 成本有效地解决了问题。
接下来，让我们展示如何正式地建立这种近似模型（即，没有数学证明)，在此过程中恢复静态模型，以 及其他中间模型。
让我们考虑一下真空中的麦克斯韦方程组（1.26-1.29) 。作为第一步，我们根据以下特征值对这些方程进 行缩放：
$\bar{l}$ :特征长度，
$\bar{t}$ : 特征时间,
$\bar{v}:$ 特征速庻，与 $\bar{v}=\bar{l} / \bar{t}$,
$\bar{E}, \bar{B}:$ 缩放 $\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$,
$\bar{\varrho}, \bar{J}:$ 缩放 [email protected]$ 和 $J$.
为了建立无量纲麦克斯韦方程组，我们设置
$$
\boldsymbol{x}=\bar{l} \boldsymbol{x}^{\prime} \quad \Rightarrow \frac{\partial}{\partial x_i}=\frac{1}{\bar{l}} \frac{\partial}{\partial x_i^{\prime}} t \quad=\bar{t} t^{\prime} \quad \Rightarrow \frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{\bar{t}} \frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \boldsymbol{E}=\bar{E} \boldsymbol{E}^{\prime} \text {, etc. }
$$
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